直线绘制算法-数值微分法（DDA）

一.DDA算法

直线在数学上是由无数个点构成，但是由于计算机显示器是由有限个像素点组成。因此需要用有限个点去逼近无限个点，以实现直线在屏幕上显示。如下图所示，绿色线段为理想线段，黑色像素点为逼近的线段。

1.由于像素点的离散性，在x方向上，每次增量为 $\Delta x=1$ ，则直线段上前一个点与后一个点具有以下关系。

$y_{i}=kx_{i}+b$

$y_{i+1}^{}=k(x_{i}+1)+b=kx_{i}+b+k=y_{i}+k$

若已知直线段上一个点的坐标以及直线段斜率k，则可根据 $y_{i+1}=y_{i}+k$ 的关系推演出下一个点的y坐标。这样做的优点是：仅可通过加法运算即可得到每一个y值，提升运算效率。

2.将得到的 $y_{i}$ 值四舍五入，用以确定y方向上哪一个像素点被点亮。具体做法为 $int(y_{i}+0.5)$ 向下取整。

二.例题推导

上图为11×11的像素点，以A点为原点建立直角坐标系，两坐标分别为A(0,0)、B(10,8)。根据A、B两点得出直线方程式： $y=0.8x$

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	0.8	1.6	2.4	3.2	4.0	4.8	5.6	6.4	7.2	8
int(y+0.5)	1	2	2	3	4	5	6	6	7	8

最终将对应的像素点改成黑色即完成直线段的逼近。

三.拓展

左图中直线段逼近结果仅有4个像素点，逼近效果差。究其原因是斜率k太大导致 $\Delta x$ 每变化1个单位， $\Delta y$ 变化幅度大，导致像素点离散。改进的方法是将直线方程改写成 $x=ay+b$ ，通过 $\Delta y$ 每变化一个单位求其x值进行值逼近，逼近效果如右图所示。

$x_{i}=ay_{i}+b$

$x_{i+1}=a(y_{i}+1)+b=ay_{i}+b+a=x_{i}+a$

结论：当斜率k的取值范围为[-1,1]，则通过 $y=kx+b$ 方程式逼近。当斜率k范围为(1,+∞]U[-∞,-1)时，通过 $x=ay+b$ 方程式逼近。

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