计算机图形学之 DDA直线算法(数值微分法)

2024-05-13 12:47:14

1. 直线段的扫描转换算法

在数学上,直线就是由无穷多个点组成的, 在计算机屏幕显示的话, 需要做一些处理,对于光栅显示器

光栅显示器上就是用有限多个点去逼近直线, 那么这些有限个点,我们需要知道每一个像素点的坐标(都是整数)

求P0, P1的直线方程

y= kx + b

斜率为

       (y1 - y0)
k = ---------------   (x1 != x0)(x2 - x0)

假设 x 已知, 即从x的起点x0开始, 沿x方向前进一个像素, (步长为1) ,就可以计算出y的值
因为像素都是整数值, 所以求出的y值还要进行整数处理

那么问题就转换成了, 如何把数学上的一个点, 扫描转换成一个屏幕像素点
比如 p (1.7, 0.8) -> p (1, 0) 或者 p(1.7, 0.8) -> +0.5 -> p (2.2, 1.3) -> p(2, 1)

直线是最基本的图形, 一个动画或真实感图形往往需要调用成千上万次画线程序, 因此直线算法的好坏与效率直接影响图形的质量与速度

因为直线方程是 y = kx + b
为了提高效率, 把计算量减下来, 关键问题是如何把乘法取消

2. DDA直线算法

DDA算法引进图形学忠一个很重要的思想 ------增量思想

这个直线是
yi = k xi + b 那么x (i+1) 也满足该式子

y(i+1) = k x(i+1) + b 又因为 x(i+1) = xi + 1, 所以

y(i+1) = k (xi + 1) + b 小括号打开就是

y(i+1) = k xi + k + b 移项

y(i+1) = k xi + b + k = yi + k 到这里就相当于 y的变化就是x每移动一格, y就移动k单位,也就是斜率

所以我们每移动一次x轴, y轴就可以移动k个单位,这样就省去了乘法运算,大大提高了效率

如下所示的例子

k = 3 / 5 = 0.6 < 1
y(i+1) = yi + k
我们从(0, 0) 这个点开始, 每次x加一, y就加0.6 那么x = 1的时候, y = 0.6, 然后进行取整运算,
结果如下表

x	y	int(y+0.5)
0	0	0
1	0 + 0.6	1
2	0.6 + 0.6	1
3	1.2 + 0.6	2
4	1.8 + 0.6	2
5	2.5 + 0.6	3

当然以上的办法只适合画斜率小于1 的直线,如果斜率大于一, 那么我们需要把x和y对调顺序进行计算, 计算完再换过来

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