本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-曲线构图-网易公开课

和洛伦兹变换的详细推导 - 百度文库

开发环境准备：CSDN

一、近似计算的应用

1、洛伦兹变换常数

2、

二、近似函数总结

1. ，求线性近似

2. ，求x在0附近的函数2次近似

3. 公式解释

三、曲线构图

一、近似计算的应用

首先老师给出一个关于相对论方程式

$T' = T(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}$

中学学过，但是我不记得了。

1、洛伦兹变换常数

做了些功课，这个 $(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}$ 是洛伦兹变换常数

import matplotlib as mpl
from matplotlib import cm
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 创建画布
fig = plt.figure(figsize=(12, 8),facecolor='lightyellow')# 创建 3D 坐标系
ax = fig.gca(fc='whitesmoke',projection='3d' )# 绘制 3D 图形ax.plot3D(xs=[3, 0, 0, 0, 0, ],    # x 轴坐标ys=[0, 0, 3, 0, 0, ],    # y 轴坐标zs=[0, 0, 0, 0, 3, ],    # z 轴坐标zdir='z',    # c='k',    # colormarker='o',    # 标记点符号mfc='r',    # marker facecolormec='g',    # marker edgecolorms=10,    # size)ax.plot3D(xs=[4, 1, 1, 1, 1, ],    # x 轴坐标ys=[0, 0, 3, 0, 0, ],    # y 轴坐标zs=[0, 0, 0, 0, 3, ],    # z 轴坐标zdir='z',    # c='g',    # colormarker='o',    # 标记点符号mfc='r',    # marker facecolormec='g',    # marker edgecolorms=10,    # size)# 设置坐标轴标题和刻度
ax.set(xlabel='X',ylabel='Y',zlabel='Z',xticks=np.arange(0, 5, 1),yticks=np.arange(0, 5, 1),zticks=np.arange(0, 5, 1))x = [0,   1,  0,    1,   3,   4,   0, 1]
y = [0,   0,  3,    3,   0,   0,   0, 0]
z = [3.1, 3.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 1, 1]
Z, ZZ, Y, YY, X, XX, S, SS = zip(x, y, z)position = eval('Z')
for pos in list('ZzYyXxSs'):label = posif label != label.upper():position = eval(label.upper()+label.upper())label= label.upper() + "'"else:position = eval(label)ax.text(x=position[0],y=position[1],z=position[2],s=label,fontsize=18,color='darkgreen')ax.quiver(0, 0, 0, 1, 0, 0, length=1, normalize=True)
ax.text(0.7,0,0.2,s='vt',fontsize=18,color='darkgreen')# 调整视角
ax.view_init(elev=20,    # 仰角azim=40    # 方位角)# 显示图形
plt.show()

有两个时空坐标空间（S, S'), x轴方向相差一定距离，y和z轴相同。它们之间的相对速度为v（考虑沿着x轴方向），S(0,0,0) 到 S'(0,0,0) 距离为vt'(由S'系统观察)

考虑S'中X轴上到S中X轴上的各自相同点有公式 x = x' + vt'（2->2,0->0），考虑任意远距离公式x = k(x'+vt'), 由相对性原理，x' = k'(x-vt) 而 k = k'

由于光速在任意参考系统拥有同样的速度(爱因斯坦假设：光速不变)

x = ct, x' = ct' 这里带入上面任意远距离公式x' = k'(x-vt), x = k(x'+vt')

$xx' = c^2tt' = k^2(x-vt)(x'+vt') = k^2(ct -vt)(ct' +vt') = k^2 tt'(c^2 -v^2)$

$ctct' = k^2tt'(c^2 -v^2)$

$k^2 = \frac{c^2}{c^2-v^2} = \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$

$k = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = (1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}$

这个k也就是洛伦兹变换系数

2、 $t' = t(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}$

设 $u = \frac{v2}{c2} ......u\rightarrow0$

$f(1-u)^{-\frac{1}{2}} \approx u((1-u_0)^{-\frac{1}{2}})' + (1-u_0)^{-\frac{1}{2}}$

$\approx \frac{1}{2}u(1-u_0)^{\frac{1}{2}}(1-u_0)' + (1-u_0)^{-\frac{1}{2}}$

$\approx -\frac{1}{2}u(1)(-1) + 1\approx 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$

$t' \approx t(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2})$

$\Delta t = t' - t$

$\frac{\Delta t}{t} \approx \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}$

这个公式用于计算卫星上的时间和地面上的时间区别，以提供更可靠的信号发射频率，同时可以看到更高次的近似因为误差已经非常非常小，所以没有啥实际意义。这个简单的近似在工业中的使用可以把问题简单化，不去考虑广义相对论，地球自转等等问题是为了简化需求已促成更简单，更有效率的生产。(实际上在工业化领域里线性近似得到了广泛得使用，从天气预报到小行星撞击地球....)

二、近似函数总结

$f(x) \approx f(x) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 (x\approx0)$

当x在0附近时：

$sin(x) \approx x$

$cos(x) \approx 1-\frac{1}{2}x^2$

$e^x\approx 1 +x+\frac{1}{2}x^2$

$ln(1+x)\approx x-\frac{1}{2}x^2$

$(1+x)^r\approx 1+rx +\frac{r(r-1)}{2}x^2$

使用举例：

1. $f(k) = (1+\frac{1}{k})^k\rightarrow\ {k \rightarrow \infty}$ ，求线性近似

$lnf(k) = kln(1+\frac{1}{k})\$

$\approx k(\frac{1}{k}) = 1$ （线性近似，老师这里说无论何时都先用线性近似，除非有明确要求，一般都使用线性近似，除非有要求用二次近似）

( $ln(1+x)\approx x , x=\frac{1}{k}\approx0$ )

2. $e^{-3x}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$ ，求x在0附近的函数2次近似

$(1 -3x+\frac{1}{2}(-3x)^2)(1 -\frac{1}{2}x +\frac{-\frac{1}{2}(-1-\frac{1}{2})}{2}x^2)$

$\approx 1-3x-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^2$

3. 公式解释

（1） $ln(1+x)\approx x-\frac{1}{2}x^2$

$f: ln(1+x)_{x\rightarrow0} = 0$

$f':(\frac{1}{1+x})_{x\rightarrow0} = 1$

$f'':\frac{-1}{(1+x)^2}_{x\rightarrow0} = -1$

（2） $(1+x)^r\approx 1+rx +\frac{r(r-1)}{2}x^2$

$f: (1+x)^r_{x\rightarrow0} = 1$

$f':(1+x)^r_{x\rightarrow0} =r$

$f'':(1+x)^r_{x\rightarrow0} = r*(r-1)$

三、曲线构图

目标：使用f和f'画出f的图像

警告：不要丢掉了学微积分之前的技巧和常识

f' > 0 代表 f正在增长， f' < 0 代表f正在减小

同理 f'' > 0 代表 f'正在增长， f'' < 0 代表f'正在减小

from sympy import *
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect( 1 ) def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):yarr = []xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) for xval in xarr:yval = expr.subs(x,xval)yarr.append(yval)y_nparr = np.array(yarr) plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):diffExpr = diff(exprY)x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))eq1 = Eq(eq,0)solveY = solve(eq1)return xVal,solveYdef DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)if len(txt)>0:plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)else:plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr)x= symbols('x')
expr = sin(x)
DrawXY(0,90/180*np.pi,100,expr,'red','y=sin(x)',plt)
DrawTangentLine(expr, 0.1, 0, 0.6, 'y', 'sin(x) x=0.1 tan')
DrawTangentLine(expr, 1.2, 1.0, 1.6, 'y', 'sin(x) x=1.2 tan')
print ('sin(x)在x = 0.1处的导数值:', (diff(expr).subs(x,0.1)))
print ('sin(x)在x = 1.2处的导数值:', (diff(expr).subs(x,1.2)))
expr = cos(x)
DrawXY(0,90/180*np.pi,100,expr,'green','y=cos(x)',plt)
DrawTangentLine(expr, 0.1, 0, 0.6,'b','')
DrawTangentLine(expr, 1.2, 1, 1.6,'b','')
print ('cos(x)在x = 0.1处的导数值:', (diff(expr).subs(x,0.1)))
print ('cos(x)在x = 1.2处的导数值:', (diff(expr).subs(x,1.2)))plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

例子：

$f(x) = 3x - x^3$

$f'(x) = 3 - 3x^2 = 3(1-x)(1+x)$

$f'(x)>0 |_{0<x<1}, f'(x) < 0 |_{x>1 , x<-1}$

x= symbols('x')
expr = 3*x - x**3
DrawXY(-2,2,100,expr,'red','y=3x - x**3',plt)
expr = y=3 - 3*x**2
DrawXY(-2,2,100,expr,'green','y=3 - 3*x**2',plt)plt.plot([1,1],[-10,2], color = 'gray')
plt.plot([0,0],[-10,2], color = 'gray')
plt.plot([-1,-1],[-10,2], color = 'gray')
plt.plot([-2,2],[0,0], color = 'gray')plt.plot(-1,-2,lw=0, marker='o', fillstyle='none',label='x=-1 turning point')
plt.plot(1,2,lw=0, marker='o', fillstyle='none',label='x=1 turning point')
plt.plot(-1,0,lw=0, marker='o', fillstyle='full',color = 'g')
plt.plot(1,0,lw=0, marker='o', fillstyle='full', color = 'g')
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

当x0 = -1 或 x0=1时， f'(x0) = 0, 称x0为驻点（critical point）, 驻点两边的导数符号可以相同，不过改变点（turnning point）必然是驻点。

$Y_0 = f(x_0)$ ,当x0是驻点时，Y0被称为驻点值(critical value)。

求解驻点： $f'(x) = 0 \Rightarrow (1-x)(1+x) = 0 \Rightarrow x = \pm1$

$f(2) = 6 -8=-2$

$f(1) = 3 -1=2$

$f(0) = 0$

$f(-1) = -3 +1 = -2$

$f(-2) = -6+8=2$

由于f(x) 是奇函数（odd function，所有未知数的幂都是奇数的），所以它是关于原点对称的

由此可画简图（schematic drawing）：

plt.plot([-2,-1,1,2],[2,-2,2,-2], color = 'r')
plt.show()

图形走向：

$f''(x) = (3-3x^2) = -6x$

x<0 , f''(x) > 0 (凹 concave down）

x>0 , f''(x) < 0（凸 concave up）

x = 0, f''(x) = 0 所以这个0点称为拐点（inflection point)

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2、 $t' = t(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}$

二、近似函数总结

1. $f(k) = (1+\frac{1}{k})^k\rightarrow\ {k \rightarrow \infty}$ ，求线性近似

2. $e^{-3x}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$ ，求x在0附近的函数2次近似

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