本文内容来自学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-隐函数微分法和逆函数导数-网易公开课

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一、公式推导

二、例子求导

三、公式推导

一、 $y=x^{\frac{m}{n}}$ 公式推导

$y=x^{\frac{m}{n}}$

$y^n = x^m$

$\frac{d}{dx}y^n = \frac{d}{dx}x^m$

由链式法则： $\frac{d}{dy}y^n\frac{dy}{dx} = mx^{m-1}$

$ny^{n-1}\frac{dy}{dx} = mx^{m-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{mx^{m-1}}{ny^{n-1}}$

由 $y^n = x^m$

$\frac{dy}{dx} = \frac{mx^{m-1}}{n(x^{\frac{m}{n}})^{n-1}} = \frac{m}{n}x^{m-1-(n-1)\frac{m}{n}} = \frac{m}{n}x^{m-1-m+\frac{m}{n}}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$

由此公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ （n的取值范围扩大到所有整数和分数）

二、例子求导 $x^2 + y^2 = 1$

$y^2 = 1-x^2$

$\frac{d}{dx}y^2 = \frac{d}{dx}(1-x^2)$

$\frac{d}{dy}y^2\frac{dy}{dx} = -2x$

$2y\frac{dy}{dx} =-2x$

$\frac{dy}{dx} =-\frac{x}{y} = -\frac{x}{(1-x^2)^{1/2}}$

验证下：

from sympy import *
x= symbols('x')
y = (1-x**2)**0.5
dif = diff(y, x)
dif

这里老师提到隐函数微分：

$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2 = 1)$

$2x+2yy' = 0$

$y'=-\frac{x}{y}$ (可以看到和上面的结果一致)

看看导数对不对得上：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt radius = 1
angle = np.linspace( 0 , 2 * np.pi , 150 )
x = radius * np.cos( angle )
y = radius * np.sin( angle ) figure, axes = plt.subplots( 1 ) axes.plot( x, y, label='x^2+y^2=1, radius:'+format(radius) )
axes.set_aspect( 1 ) x, y, x0, y0 = symbols('x y x0 y0')
expr = (y-y0)/(x-x0) + x0/(1-x0**2)**(0.5)
expr = expr.subs(y0,(1-x0**2)**0.5)
expr = expr.subs(x0,0.6)
yarr = []xarr = np.linspace(-1 , 2.5 , 25 )
for xval in xarr:yexpr = expr.subs(x,xval)eqy = Eq(yexpr, 0)soly = solve(eqy)yarr.append(soly)y_nparr = np.array(yarr) plt.plot(xarr, y_nparr, color='b', label='tangent line of fx on x=0.6')plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

三、公式推导

$y^4 +xy^2-2=0$ 显式求导

(须知：一元二次方程： $ax^2 + bx +c = 0$ ，求根公式： $x=\frac{-b\pm (b^2-4ac)^{1/2}}{2a}$ )

$y^2 = \frac{-x\pm (x^2-4\times (-2))^{1/2}}{2}$

$y =\pm( \frac{-x\pm (x^2-4\times (-2))^{1/2}}{2})^{1/2}$

.....

隐式求导：

$4y^3y' + y^2 + 2xyy' = 0$

$(4y^3+2xy)y' = -y^2$

$y' = \frac{-y^2}{4y^3+2xy}$

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