循环冗余校验（CRC，模2运算）

一、模2运算

模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分，因此，我们在分析CRC算法之前，必须掌握模2运算的规则。与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。

①模2加法运算定义为：
0＋0＝0        0＋1＝1        1＋0＝1        1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110，列竖式计算：
   0 1 0 1
＋ 0 0 1 1
──────
   0 1 1 0
②模2减法运算定义为：
0－0＝0        0－1＝1        1－0＝1        1－1＝0
例如0110－0011＝0101，列竖式计算：
   0 1 1 0
－  0 0 1 1
──────
   0 1 0 1

③模2乘法运算定义为：
0×0＝0        0×1＝0        1×0＝0        1×1＝1
多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。例如1011×101＝100111，列竖式计算：
     1 0 1 1
     × 1 0 1
    ──────
            1 0 1 1
     0 0 0 0
＋ 1 0 1 1
────────
   1 0 0 1 1 1

④模2除法运算定义为：
0÷1＝0 1÷1＝1
多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义的。实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2 除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。例如1100100÷1011＝1110……110，列竖式计算：

（1）一步步的计算方法：

模2除法与长除法类似，但有个特点：不借位。说白了就是按位异或，相同为0，不同为1。
它有三个原则：
   1、除数与被除数最高几位（与除数位数相同）做异或，商1。（除数首位必须为1）
   2、余数先去掉首位，若此时余数最高位为1，商1，并对以它为除数继续模2除。
         若最高位为0，则商0，重复步骤2。
   3、直到余数位数小于除数位数时，运算结束。

（2）熟悉规则之后，比较简洁的方法

1、当余数位数与除数位数相同时，才进行异或运算，余数首位是1，商就是1，余数首位是0，商就是0。

2、当已经除了几位后，余数位数小于除数，商0，余数往右补一位，位数仍比除数少，则继续商0，当余数位数和除数位数一样时，商1，进行异或运算，得新的余数，以此至被除数最后一位。

二、CRC码生成

1.概述

　　CRC即Cyclic Redundancy Check，循环冗余校验，是一种数字通信中的常用信道编码技术。其特征是信息段和校验字段的长度可以任意选定。

2.CRC校验的基本原理：

　　CRC码是由两部分组成的，前部分是信息码，就是需要校验的信息，后部分是校验码，如果CRC码长共n bit，信息码长k bit，就称为(n,k)码，剩余的r bit即为校验位。如：(7,3)码：110 1001，前三位110为信息码，1001为校验码。

3.校验码的生成规则：

　　1)将原信息码左移r bit，右侧补零，如 110--> 110 0000；

　　2)用110 0000除以g(x) (注意，使用的是模2除法,见下文)，得到的余数即为CRC校验码；

　　3)将校验码续接到信息码的尾部，形成CRC码。

4.关于生成多项式g(x)

　　在产生CRC校验码时，要用到除法运算，一般来说，这是比较麻烦的，因此，把二进制信息预先转换成一定的格式，这就是CRC的多项式表示。二进制数表示为生成多项式的系数，如下：

　　所有二进制数均被表示为一个多项式，x仅是码元位置的标记，因此我们并不关心x的取值，称之为码多项式。(我没研究过CRC代数推理过程，没体会到用多项式计算的方便之处，这里要学会的就是给出生成多项式g(x)，能写出对应的二进制即可)

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