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《Matlab/Simulink与控制系统仿真》程序指令总结

Matlab_Simulink_BookExample
9. 线性系统状态空间分析
- 9.2.4 状态方程求解
- - 9.2.4.2 矩阵指数的性质及求法
  - 9.2.4.1 齐次方程求解
  - 9.2.4.3 非齐次方程求解
- 9.1 Matlab 函数
- 例题 9_2
- 例题 9_3
- 例题 9_4
- 例题 9_5
- 例题 9_6
- 例题 9_7
- 例题 9_8
- 例题 9_9
- 例题 9_10
- 例题 9_11
- 例题 9_12

书中详细实例代码可见：Github

更多关于基础原理的讲解：【控制】第九章-线性系统的状态空间描述

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图书：《Matlab/Simulink与控制系统仿真》

9. 线性系统状态空间分析

状态空间描述具有以下特点：

状态空间描述考虑到了“输入-状态-输出”这一过程，考虑到了被经典控制理论的“输入-输出”描述所忽略的状态，因此它揭示了问题的本质，即输入引起状态的变化，而状态决定了输出。
输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程。状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。
系统的状态变量个数等于系统的阶数，一个 nnn 阶系统的状态变量个数为 nnn。
对于给定的系统，状态变量的选择不唯一，状态变量的线性变换结果也可以作为状态变量。
一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，但从便于构造控制系统来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更合适。

9.2.4 状态方程求解

9.2.4.2 矩阵指数的性质及求法

对于线性定常系统来说，齐次方程的求解可归结为求矩阵指数 eA(t−t0)e^{A(t-t_0)}eA(t−t0) 。eA(t−t0)e^{A(t-t_0)}eA(t−t0) 具有以下基本性质：

（性质1）组合性质，从
（性质12）矩阵指数 eAte^{At}eAt 可表示为有限项之和，即 eAt=∑i=0n−1Aiai(t)e^{At} = \sum_{i=0}^{n-1} A^i a_i(t)eAt=i=0∑n−1Aiai(t)

Proof. 见书 P243页

（性质13）矩阵指数函数可用拉氏反变换得到：eAt=L−1[(sI−A)−1]e^{At} = \mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]eAt=L−1[(sI−A)−1]

9.2.4.1 齐次方程求解

X(t)=eA(t−t0)X(t0)X(t) = e^{A(t-t_0)} X(t_0)X(t)=eA(t−t0)X(t0)

X(t)=eAtX0X(t) = e^{At}X_{0}X(t)=eAtX0

9.2.4.3 非齐次方程求解

X(t)=eA(t−t0)X(t0)+eAt∫t0te−AτBU(τ)dτX(t) = e^{A(t-{t_0})} X(t_0) + e^{At}\int_{t_0}^{t} e^{-A\tau} BU(\tau)d\tauX(t)=eA(t−t0)X(t0)+eAt∫t0te−AτBU(τ)dτ

9.1 Matlab 函数

tf2ss() 将传递函数模型转换为状态空间模型

zp2ss() 将零极点模型转换为状态空间模型

ss 直接建立状态空间模型

canon() 将系统直接转化为对角型的函数

ss2ss() 进行状态空间表达式的线性变换的函数

rat() 返回一个有理近似值的字符向量

ctrb() 求取系统可控判别矩阵的函数

obsv() 求取系统可观判别矩阵的函数

ctrbf() 系统进行能控性分解的函数

obsvf() 系统进行能观测性分解的函数

lyap() lyap2() dlyap() 求解李亚普诺夫方程函数

例题 9_2

% Page249：已知开环传函，求状态空间模型
clear;
clc;% G1 函数的分子、分母多项式
num = [2, 8, 6];
den = [1. 8, 16, 6];
% 将 G1 传递函数模型转换为状态空间模型
[A1, B1, C1, D1] = tf2ss(num, den);
% G2 函数的零极点、增益
z = [-1, -3];
p = [0, -2, -8];
k = 2;
% 将 G2 传递函数模型转换为状态空间模型
[A2, B2, C2, D2] = zp2ss(z, p, k);

例题 9_3

% Page250：已知系统的动力学微分方程，求系统的状态空间模型
clear;
clc;% 微分方程输入量、输出量的系数
num = [1, 2, 1];
den = [1, 3, 3, 1];
% 建立传递函数模型
sys1 = tf(num, den);
% 求状态空间表达式
sys = ss(sys1);

例题 9_4

% Page251：已知系统状态空间模型，求系统的对角标准型
clear;
clc;A = [0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6];
B = [1; 0; 0];
C = [1 1 0];
D = 0;
% 生成对角标准型
[As, Bs, Cs, Ds, Ts] = canon(A, B, C, D, 'mod');

例题 9_5

% Page252：已知系统传递函数，求系统约当标准型
clear;
clc;num1 = [2, 1];
den1 = [1, 7, 14, 8];
% 求系统的分式表达式
[r1, p1, k1] = residue(num1, den1);
% 对分式结果进行变换，得到约当标准型
A1 = diag(p1);
B1 = ones(length(r1), 1);
C1 = rat(r1);
D1 = 0;

例题 9_6

% Page253：已知矩阵，求解状态转移矩阵
clear;
clc;A = [0 1 0;0 0 1;1 -3 3;];
% 状态转移时刻
t = 0.2;
% 计算状态转移矩阵
Phi = expm(A*t);

例题 9_7

% Page253：已知状态空间模型，求解脉冲响应、阶跃响应、响应曲线
clear;
clc;A = [-2 -2.5 -0.5; 1 0 0; 0 1 0];
B = [1; 0; 0];
C = [0 1.5 1];
D = [];
% 建立状态空间模型
G = ss(A,B,C,D);
% 仿真时间
t = [0:0.1:20]';
% 计算脉冲响应并添加栅格
% impulse(G); grid on
% 计算阶跃响应并添加栅格
% step(G); grid on% 接着输入如下代码
% 初始状态
xo = [1; 0; 2];
% 输入量 u
u(1, 1:20) = 2*ones(1, 20);
u(1, 21:201) = 0.5*ones(1, 181);
% 计算输入响应
[y, t, x] = lsim(G, u, t, xo);
% 绘制曲线
plot(t,x(:,1),'-', t,x(:,2),'--', t,x(:,3),'-.')
% 添加坐标轴
xlabel('时间/秒'); ylabel('幅值');
% 添加栅格
grid
% 添加标注
text(6, 0.3, 'x_1(t)');
text(6, -0.5, 'x_2(t)');
text(8, 1.8, 'x_3(t)');figure(2)
plot(t,y)

例题 9_8

% Page262：已知状态空间模型，判断系统是否可控？是否可观？
clear;
clc;A = [1 0 -1; -1 -2 0; 3 0 1];
B = [1 0; 2 1; 0 2];
C = [1 0 0; 0 -1 0];
% 计算可控判别矩阵
M = ctrb(A, B);
% 计算可控判别矩阵的秩
RM = rank(M);
% 计算可观判别矩阵
N = obsv(A, C);
% 计算可观判别矩阵的秩
RN = rank(N);

例题 9_9

% Page263：已知状态空间模型，判断可控性，如果完全可控，转化为可控 II 型
clear;
clc;A = [1 2 0; 3 -1 1; 0 2 0];
B = [2; 1; 1];
C = [0 0 1];
D = 0;
% 计算可控判别矩阵
T = ctrb(A, B);
% 计算可控判别矩阵的秩
R = rank(T);% 计性状态空间的线性变换
[Ac2, Bc2, Cc2, Dc2] = ss2ss(A, B, C, D, inv(T));

例题 9_10

% Page263：已知状态空间模型，求该系统的能观 I 型
clear;
clc;A = [1 2 0; 3 -1 1; 0 2 0];
B = [2; 1; 1];
C = [0 0 1];
D = [0];
% 计算可观判别矩阵
T = obsv(A, C);
% 进行状态空间的线性变换
[Ao1, Bo1, Co1, Do1] = ss2ss(A, B, C, D, T);

例题 9_11

% Page264：已知状态空间模型，进行能控性分解和能观性分解
clear;
clc;A = [0 0 -1; 1 0 -3; 0 1 -3];
B = [1; 1; 0];
C = [0 1 -2];
% 能控性结构分解
[Ac, Bc, Cc] = ctrbf(A, B, C);
% 能观性结构分解
[Ao, Bo, Co] = obsvf(A, B, C);% 若想要得到标准形式
Acc = rot90(Ac, 2);
Bcc = rot90(Bc, 2);
Ccc = rot90(Cc, 2);

例题 9_12

% Page269：已知系统状态矩阵，给定正定对称矩阵，求李亚普诺夫方程解 P
clear;
clc;% 状态矩阵
A = [0 1; -1 -1];
% 给定的正定对称矩阵
Q = [1 0; 0 1];
% 求解李亚普诺夫方程
P = lyap(A', Q);

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