UA MATH563 概率论的数学基础中心极限定理3 推导一元随机变量独立性的判断方法

上一讲我们基于测度论定义了事件、事件序列、σ\sigmaσ-代数与随机变量的独立性，并给出了基于π−λ\pi-\lambdaπ−λ定理导出的独立性的判断方法，这一讲我们的目标是基于这个判断方法导出判断我们最常用的一元随机变量独立性的方法。我们先列出上一讲导出的定理：

定理假设Ai,1≤i≤n\mathcal{A}_i,1 \le i \le nAi,1≤i≤n是一列独立的π\piπ-类，则σ(Ai),1≤i≤n\sigma(A_i),1 \le i \le nσ(Ai),1≤i≤n独立。

现在讨论随机变量Xi:(Ω,F,P)→(R,B(R)),1≤i≤nX_i:(\Omega,\mathcal{F},P) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),1 \le i \le nXi:(Ω,F,P)→(R,B(R)),1≤i≤n，上一讲我们定义了随机变量序列的独立性，如果σ(Xi)\sigma(X_i)σ(Xi)互相独立，则XiX_iXi独立，其中
σ(Xi)={Xi−1(B):B∈B(R)}\sigma(X_i) = \{X_i^{-1}(B):B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}σ(Xi)={Xi−1(B):B∈B(R)}

要用定理说明σ(Xi)\sigma(X_i)σ(Xi)互相独立，我们需要找到可以生成σ(Xi)\sigma(X_i)σ(Xi)的一个π\piπ-类，回顾一下在实分析中，我们介绍过Borel代数的构造：

Proposition 1.2 B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})B(R) contains all open intervals, closed intervals, half-open intervals, open rays and closed rays.

也就是说Borel代数可以由一种特定的区间族生成，我们有下面几种不同的选项：

{(−∞,x]:x∈R}\{(-\infty,x]:x \in \mathbb{R}\}{(−∞,x]:x∈R}
{(−∞,x):x∈R}\{(-\infty,x):x \in \mathbb{R}\}{(−∞,x):x∈R}
{[x,+∞):x∈R}\{[x,+\infty):x \in \mathbb{R}\}{[x,+∞):x∈R}
{(x,+∞):x∈R}\{(x,+\infty):x \in \mathbb{R}\}{(x,+∞):x∈R}
{(x,y):x,y∈R}\{(x,y):x,y \in \mathbb{R}\}{(x,y):x,y∈R}
{[x,y]:x,y∈R}\{[x,y]:x,y \in \mathbb{R}\}{[x,y]:x,y∈R}

这六种集族每一种都可以生成Borel代数B(R)\mathcal{B}(\mathbb{R})B(R)，于是接下来我们要做的是分别验证这六种集族以及是否是π\piπ-类，事实上这六种集族都是π\piπ-类，简单验证任意两个集合的交也在集族中即可，下面举三个例子，剩下的留给读者。

第一种：(∞,x]∩(−∞,y]=(−∞,min⁡(x,y)](\infty,x] \cap (-\infty,y]=(-\infty,\min(x,y)](∞,x]∩(−∞,y]=(−∞,min(x,y)]，所以是π\piπ-类；
第四种：(x,+∞)∩(y,+∞)=(max⁡(x,y),+∞)(x,+\infty)\cap (y,+\infty) = (\max(x,y),+\infty)(x,+∞)∩(y,+∞)=(max(x,y),+∞)，所以是π\piπ-类；
第六种：[x,y]∩[a,b]=[max⁡(a,x),min⁡(b,y)][x,y] \cap [a,b]=[\max(a,x),\min(b,y)][x,y]∩[a,b]=[max(a,x),min(b,y)]，所以是π\piπ-类。

现在根据定理，只要集族是独立的，那么随机变量就是独立的，于是我们可以获得下面六种判别方法：

定理一元随机变量独立性的判断方法
随机变量序列Xi:(Ω,F,P)→(R,B(R)),1≤i≤nX_i:(\Omega,\mathcal{F},P) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),1 \le i \le nXi:(Ω,F,P)→(R,B(R)),1≤i≤n独立的充分条件是（下列六个等价条件中任意一个即可）

P(X1≤x1,⋯,Xn≤xn)=∏i=1nP(Xi≤xi)P(X_1 \le x_1,\cdots,X_n \le x_n)=\prod_{i=1}^n P(X_i \le x_i)P(X1≤x1,⋯,Xn≤xn)=∏i=1nP(Xi≤xi)
P(X1<x1,⋯,Xn<xn)=∏i=1nP(Xi<xi)P(X_1< x_1,\cdots,X_n< x_n)=\prod_{i=1}^n P(X_i < x_i)P(X1<x1,⋯,Xn<xn)=∏i=1nP(Xi<xi)
P(X1≥x1,⋯,Xn≥xn)=∏i=1nP(Xi≥xi)P(X_1 \ge x_1,\cdots,X_n \ge x_n)=\prod_{i=1}^n P(X_i \ge x_i)P(X1≥x1,⋯,Xn≥xn)=∏i=1nP(Xi≥xi)
P(X1>x1,⋯,Xn>xn)=∏i=1nP(Xi>xi)P(X_1 > x_1,\cdots,X_n > x_n)=\prod_{i=1}^n P(X_i > x_i)P(X1>x1,⋯,Xn>xn)=∏i=1nP(Xi>xi)
P(x1≤X1≤y1,⋯,xn≤Xn≤yn)=∏i=1nP(xi≤Xi≤yi)P(x_1 \le X_1 \le y_1,\cdots,x_n \le X_n \le y_n)=\prod_{i=1}^n P(x_i \le X_i \le y_i)P(x1≤X1≤y1,⋯,xn≤Xn≤yn)=∏i=1nP(xi≤Xi≤yi)
P(x1<X1<y1,⋯,xn<Xn<yn)=∏i=1nP(xi<Xi<yi)P(x_1 < X_1 < y_1,\cdots,x_n < X_n < y_n)=\prod_{i=1}^n P(x_i<X_i < y_i)P(x1<X1<y1,⋯,xn<Xn<yn)=∏i=1nP(xi<Xi<yi)