UA MATH563 概率论的数学基础中心极限定理15 Kolmogorov 0-1律

如果是初见的话会觉得Kolmogorov 0-1律看上去很奇怪，但它在概率论中有很广泛的应用，这一讲我们简单介绍一下Kolmogorov 0-1律。

假设{Xj}j≥1\{X_j\}_{j \ge 1}{Xj}j≥1是(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)上的一列实值随机变量，定义
Fn=σ{Xn+1,Xn+2,⋯}\mathcal{F}_n = \sigma\{X_{n+1},X_{n+2},\cdots\}Fn=σ{Xn+1,Xn+2,⋯}

定义tail σ\sigmaσ-代数为
τ=∩n≥1Fn\tau = \cap_{n \ge 1}\mathcal{F}_nτ=∩n≥1Fn

称τ\tauτ中的事件为tail event，称τ\tauτ-可测的随机变量为tail random variable。

例考虑下列事件是否是tail event：Bn∈B(R)B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})Bn∈B(R)

{w∈Ω:∑j≥1Xj(w)converges}\{w \in \Omega:\sum_{j \ge 1}X_j(w)\ converges\}{w∈Ω:∑j≥1Xj(w) converges}
{w∈Ω:∑j≥1Xj(w)=2}\{w \in \Omega:\sum_{j \ge 1}X_j(w)=2\}{w∈Ω:∑j≥1Xj(w)=2}
{w∈Ω:∃lim⁡nXn(w)}\{w \in \Omega:\exists \lim_{n}X_n(w)\}{w∈Ω:∃limnXn(w)}
{w∈Ω:Xn(w)∈Bni.o.}\{w \in \Omega:X_n(w) \in B_n\ i.o.\}{w∈Ω:Xn(w)∈Bn i.o.}
{w∈Ω:Xn(w)∈Bne.v.}\{w \in \Omega:X_n(w) \in B_n\ e.v.\}{w∈Ω:Xn(w)∈Bn e.v.}
{w∈Ω:lim⁡nSn(w)/n=4}\{w \in \Omega:\lim_n S_n(w)/n=4\}{w∈Ω:limnSn(w)/n=4}

先说答案，除了第二个不是tail event，其他的都是tail event。有一种比较直观的方法是看事件是否受到X1X_1X1或者X1,⋯,XcX_1,\cdots,X_cX1,⋯,Xc的影响，c<<nc<<nc<<n，比如第二个事件中的级数显然是每一项都非常重要，2的值主要是由前几项给出来的，后续的无穷项都为0，第一项与第二项的区别在于第一项只要求级数收敛，而不需要给定级数的值，因此按照级数收敛性的判定，它与前几项并无关系。其他事件与前几项都无关系，比如第三项和第六项的极限，极限讨论的就是尾部性质，所以自然是尾部事件，第四项与第五项根据定义就知道与前几项无关。

Kolmogorov 0-1律
假设{Xj}j≥1\{X_j\}_{j \ge 1}{Xj}j≥1独立，则τ\tauτ是一个trivial σ\sigmaσ-代数，即
∀A∈τ,P(A)=0or1\forall A \in \tau,P(A)=0\ or \ 1∀A∈τ,P(A)=0 or 1

评述
回顾一下强大数定律(Kolmogorov)，假设X1,⋯,Xn,n≥1X_1,\cdots,X_n,n\ge 1X1,⋯,Xn,n≥1是iid的随机变量，E∣X1∣<∞E|X_1|<\inftyE∣X1∣<∞，则
Xˉ→asEX1\bar X \to_{as} EX_1Xˉ→asEX1

记A={w∈Ω:Sn(w)/n→EX1}A = \{w \in \Omega:S_n(w)/n \to EX_1\}A={w∈Ω:Sn(w)/n→EX1}，上面的例题第六条说明A∈τA \in \tauA∈τ，根据Kolmogorov 0-1律，P(A)=0or1P(A)=0\ or\ 1P(A)=0 or 1，但实际上Kolmogorov 0-1律只能给出这个结果了，因为尽管我们知道了这个概率要么是0，要么是1，但我们在计算这个概率前也是不知道它到底是0还是1的，但至少Kolmogorov 0-1律可以作为一个必要条件。

证明
有一个非常有用的观察：
P(A)=0or1⇔P(A∩A)=P(A)=P(A)P(A)P(A)=0\ or\ 1 \Leftrightarrow P(A\cap A) = P(A)=P(A)P(A)P(A)=0 or 1⇔P(A∩A)=P(A)=P(A)P(A)

也就是说AAA与自己独立，于是我们可以通过说明AAA与自己独立来证明Kolmogorov 0-1律。

因为A∈τA \in \tauA∈τ，所以∃N∈N\exists N \in \mathbb{N}∃N∈N, ∀m≥N\forall m \ge N∀m≥N, A∈FmA \in \mathcal{F}_mA∈Fm，记Gn=σ{X1,⋯,Xn}\mathcal{G}_n=\sigma\{X_1,\cdots,X_n\}Gn=σ{X1,⋯,Xn}，如果n<mn<mn<m，则Gn\mathcal{G}_nGn与AAA独立，进一步可以得到AAA与∪n≥1Gn\cup_{n \ge 1}\mathcal{G}_n∪n≥1Gn独立，记C1={A},C2=∪n≥1GnC_1 = \{A\},C_2 = \cup_{n \ge 1}\mathcal{G}_nC1={A},C2=∪n≥1Gn，则C1,C2C_1,C_2C1,C2都是π\piπ-类：

C2C_2C2是π\piπ-类因为E1,E2∈C2E_1,E_2 \in C_2E1,E2∈C2, ∃n1,n2,E1∈G1,E2∈G2\exists n_1,n_2,E_1 \in \mathcal{G}_1,E_2 \in \mathcal{G}_2∃n1,n2,E1∈G1,E2∈G2，E1∩E2∈Gmax⁡(n1,n2)⊂C2E_1\cap E_2 \in \mathcal{G}_{\max(n_1,n_2)} \subset C_2E1∩E2∈Gmax(n1,n2)⊂C2。

因此σ(C1)\sigma(C_1)σ(C1)与σ(C2)\sigma(C_2)σ(C2)独立，其中σ(C2)=σ{X1,X2,⋯}\sigma(C_2)=\sigma\{X_1,X_2,\cdots\}σ(C2)=σ{X1,X2,⋯}, σ(C1)={ϕ,A,AC,Ω}\sigma(C_1)=\{\phi,A,A^C,\Omega\}σ(C1)={ϕ,A,AC,Ω}，因为A∈τ⊂σ{X1,X2,⋯}A \in \tau \subset \sigma\{X_1,X_2,\cdots\}A∈τ⊂σ{X1,X2,⋯}，于是AAA与自己独立。