第三十三讲非线性方程组化为一阶方程

一，预备知识
非线性自治微分方程组：{dxdt=f(x,y)dydt=g(x,y)\left\{\begin{matrix}\frac{dx}{dt}=f(x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(x,y)\end{matrix}\right.{dtdx=f(x,y)dtdy=g(x,y)
等式右边不显含变量t
图像是一个速度场：F⃗=fi^+gj^\vec{F}=f\widehat{i}+g\widehat{j}F=fi+gj

方程组的解为：{x=x(t)y=y(t)\left\{\begin{matrix}x=x(t)\\ y=y(t)\end{matrix}\right.{x=x(t)y=y(t)
图像是一条轨迹：

二，从方程组中消除t：
只需将方程组中的两个方程相除：dydx=g(x,y)f(x,y)\frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}dxdy=f(x,y)g(x,y)
此时方程组变为了一阶常微分方程
图像中，消去了自变量t，也就没有了速度（向量的长度和方向），只剩下该点的斜率，速度场变成了斜率场。
解不再是一对参数方程，而是y′=y(x){y}'=y(x)y′=y(x)（显函数，隐函数都有可能），不再是轨迹，而是曲线。

消除t的好处：有可能使原来无法解的方程组变得可解。

三，线性方程组例题：
线性方程组：{x′=yy′=−x\left\{\begin{matrix}{x}'=y\\ {y}'=-x\end{matrix}\right.{x′=yy′=−x

通解：[xy]=c1[cos(t)−sin(t)]+c2[sin(t)cos(t)]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}cos(t)\\ -sin(t)\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}sin(t)\\ cos(t)\end{bmatrix}[xy]=c1[cos(t)−sin(t)]+c2[sin(t)cos(t)]
图像：

消去t：dydx=−xy\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}dxdy=y−x
分离变量再积分，得通解：x2+y2=cx^{2}+y^{2}=cx2+y2=c
图像也是圆。

四，非线性方程组例题：
鲨鱼（x）-小鱼（y）方程组：{x′=−ax+bxyy′=cy−dxy\left\{\begin{matrix}{x}'=-ax+bxy\\ {y}'=cy-dxy\end{matrix}\right.{x′=−ax+bxyy′=cy−dxy，（a,b,c,d>0a,b,c,d>0a,b,c,d>0）
-ax表示没有小鱼，鲨鱼会消亡（假设鲨鱼只吃小鱼）
bxy表示鲨鱼吃了小鱼
cy表示没有鲨鱼，小鱼会增多（这里不是逻辑斯蒂增长方程）
-dxy表示小鱼被鲨鱼吃了
为了简化方程组，假设a,b,c,d=1a,b,c,d=1a,b,c,d=1
方程组变为：{x′=−x+xyy′=y−xy\left\{\begin{matrix}{x}'=-x+xy\\ {y}'=y-xy\end{matrix}\right.{x′=−x+xyy′=y−xy
第一步，找临界点：
计算{x(−1+1y)=0y(1−1x)=0\left\{\begin{matrix}x(-1+1y)=0\\ y(1-1x)=0\end{matrix}\right.{x(−1+1y)=0y(1−1x)=0
解得：{x=0y=0\left\{\begin{matrix}x=0\\ y=0\end{matrix}\right.{x=0y=0，{x=cd=1y=ab=1\left\{\begin{matrix}x=\frac{c}{d}=1\\ y=\frac{a}{b}=1\end{matrix}\right.{x=dc=1y=ba=1
第二步，对每个临界点附近，线性化方程组，并画出轨迹：
当{x=0y=0\left\{\begin{matrix}x=0\\ y=0\end{matrix}\right.{x=0y=0时：xy是两个无穷小的乘积，可以忽略
方程组变为：{x′=−xy′=y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x\\ {y}'=y\end{matrix}\right.{x′=−xy′=y
矩阵A：[−1001]\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}[−1001]
特征值：λ1=−1\lambda _{1}=-1λ1=−1，λ2=1\lambda _{2}=1λ2=1
依此可以判断，图像是鞍形（不稳定），λ1=−1\lambda _{1}=-1λ1=−1的特征向量朝向原点，λ2=1\lambda _{2}=1λ2=1的特征向量朝向无穷远
图像：

当{x=1y=1\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=1\end{matrix}\right.{x=1y=1时：没有无穷小了
计算雅克比矩阵：J0=[−1+yx−y1−x]=[01−10]J_{0}=\begin{bmatrix}-1+y & x\\ -y & 1-x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}J0=[−1+y−yx1−x]=[0−110]
即方程组：{x′=yy′=−x\left\{\begin{matrix}{x}'=y\\ {y}'=-x\end{matrix}\right.{x′=yy′=−x
图像：

里面和外面有很多同心圆（没画在图上），这种叫中心。
现在，陷入了边界线情形的困境：
边界线情形：

中心隔开了“螺旋源区域”和“螺旋汇聚区域”
图上的点（0,1）对应迹=0，行列式=1的方程组，如果矩阵的系数（方程组的系数）有微小的变化，点（迹，行列式）就不会在中心线上，原来的同心圆图像，就会变成螺旋源图像或螺旋汇聚图像。如图：

因为中心是非线性方程组的近似（实际的系数肯定有微小的变化），所以无法判断这个临界点是螺旋汇聚还是螺旋源，或者仍是中心。
这个问题叫沃尔泰拉问题。
解决办法，消去t：dydx=y(1−x)x(−1+y)\frac{dy}{dx}=\frac{y(1-x)}{x(-1+y)}dxdy=x(−1+y)y(1−x)
分离变量再积分，（过程见视频），得通解：xe−x⋅y⋅e−y=cxe^{-x}\cdot y\cdot e^{-y}=cxe−x⋅y⋅e−y=c
通解是方程xe−x⋅y⋅e−y=h(x,y)xe^{-x}\cdot y\cdot e^{-y}=h(x,y)xe−x⋅y⋅e−y=h(x,y)的一条等值线
ue−uue^{-u}ue−u的函数图像：

当u→0u\rightarrow 0u→0时，ue−u→uue^{-u}\rightarrow uue−u→u
当u→∞u\rightarrow \inftyu→∞时，ue−u→0ue^{-u}\rightarrow 0ue−u→0
对ue−uue^{-u}ue−u求导，当u=1时，导数=0，得最大值e−1e^{-1}e−1
因此，xe−x⋅y⋅e−y=h(x,y)xe^{-x}\cdot y\cdot e^{-y}=h(x,y)xe−x⋅y⋅e−y=h(x,y)这个方程的最大值在点（x=1,y=1）处，当x=0或y=0时h(x,y)=0h(x,y)=0h(x,y)=0，在最大值和0值之间环绕着等值线，如图：

通常每一条水平线和一条等值线只有两个交点，但在最大值时只有一个交点，因此等值线不可能是螺旋。
因为没有小鱼，鲨鱼会消亡；没有鲨鱼，小鱼会增多；小鱼增多，鲨鱼开始增多……因此可以判断等值线的方向是顺时针。

以恒定速率k捕鱼的影响：
方程组变为：{x′=−ax+bxy−kxy′=cy−dxy−ky\left\{\begin{matrix}{x}'=-ax+bxy-kx\\ {y}'=cy-dxy-ky\end{matrix}\right.{x′=−ax+bxy−kxy′=cy−dxy−ky

整理：{x′=−(a+k)x+bxyy′=(c−k)y−dxy\left\{\begin{matrix}{x}'=-(a+k)x+bxy\\ {y}'=(c-k)y-dxy\end{matrix}\right.{x′=−(a+k)x+bxyy′=(c−k)y−dxy
原来的临界点是{x=cd=1y=ab=1\left\{\begin{matrix}x=\frac{c}{d}=1\\ y=\frac{a}{b}=1\end{matrix}\right.{x=dc=1y=ba=1，现在变为：{x=c−kdy=a+kb\left\{\begin{matrix}x=\frac{c-k}{d}\\ y=\frac{a+k}{b}\end{matrix}\right.{x=dc−ky=ba+k

捕鱼的结果：降低了鲨鱼的数量，增加了小鱼的数量。
这个现象叫沃尔泰拉法则。

完结撒花！

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