例题

{u1′=−u1+2u2u1′=u1−2u2\left\{\begin{matrix}{u_{1}}'=-u_{1}+2u_{2}\\ {u_{1}}'=u_{1}-2u_{2}\end{matrix}\right.{u1′=−u1+2u2u1′=u1−2u2

一，将微分方程组化为矩阵形式

[u1′u2′]=A[u1u2]=[−121−2][u1u2]\begin{bmatrix}{u_{1}}' \\ {u_{2}}'\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 2\\ 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}[u1′u2′]=A[u1u2]=[−112−2][u1u2]

方程组解的形式：[u]=[x]eλt\begin{bmatrix}u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\end{bmatrix}e^{\lambda t}[u]=[x]eλt，c是任意常数，x是特征向量，λ是特征值，t是时间变量
证明：[u′]=([x]eλt)′=λ[x]eλt=A[x]eλt=A[u]\begin{bmatrix}{u}'\end{bmatrix}={(\begin{bmatrix}x\end{bmatrix}e^{\lambda t})}'=\lambda \begin{bmatrix}x\end{bmatrix}e^{\lambda t}=A\begin{bmatrix}x\end{bmatrix}e^{\lambda t}=A\begin{bmatrix}u\end{bmatrix}[u′]=([x]eλt)′=λ[x]eλt=A[x]eλt=A[u]

二，求出A的λ\lambdaλ和xxx

根据二阶矩阵特征值公式（第二十一讲），得：λ2+3λ=0\lambda ^{2}+3\lambda =0λ2+3λ=0。解得：λ1=0，λ2=−3\lambda_{1}=0，\lambda_{2}=-3λ1=0，λ2=−3
将λ1=0\lambda_{1}=0λ1=0代入[−1−λ21−2−λ][x1x2]=0\begin{bmatrix}-1-\lambda & 2\\ 1 & -2-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}=0[−1−λ12−2−λ][x1x2]=0，得：[−121−2][x1x2]=0\begin{bmatrix}-1 & 2\\ 1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}=0[−112−2][x1x2]=0
设自由变量x1=1x_{1}=1x1=1，则x2=12x_{2}=\frac{1}{2}x2=21，特征向量[x1x2]=c1[112]\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}[x1x2]=c1[121]，c1c_{1}c1为任意常数
将λ1=−3\lambda_{1}=-3λ1=−3代入[−1−λ21−2−λ][x1x2]=0\begin{bmatrix}-1-\lambda & 2\\ 1 & -2-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}=0[−1−λ12−2−λ][x1x2]=0，得：[2211][x1x2]=0\begin{bmatrix}2 & 2\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}=0[2121][x1x2]=0
设自由变量x1=1x_{1}=1x1=1，则x2=−1x_{2}=-1x2=−1，特征向量[x1x2]=c2[1−1]\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}[x1x2]=c2[1−1]，c2c_{2}c2为任意常数

三，方程组的通解

A=[u1u2]=c1[112]e0t+c2[1−1]e−3t=SeΛtΛcA=\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}e^{0t}+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}e^{-3t}=Se^{\Lambda t}\Lambda_{c}A=[u1u2]=c1[121]e0t+c2[1−1]e−3t=SeΛtΛc
c1[112]e0tc_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}e^{0t}c1[121]e0t是稳态解，c2[1−1]e−3tc_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}e^{-3t}c2[1−1]e−3t是暂态解，随着t→∞，e−3te^{-3t}e−3t→0

四，方程组的特解

假设初始条件：当t=0时，[u1u2]=[10]\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}[u1u2]=[10]
代入初始条件：
[10]=c1[112]+c2[1−1]\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}[10]=c1[121]+c2[1−1]
整理：
[1112−1][c1c2]=[10]\begin{bmatrix}1 & 1\\ \frac{1}{2} & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{1}\\ c_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}[1211−1][c1c2]=[10]
解得：
[c1c2]=[2313]\begin{bmatrix}c_{1}\\ c_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3} \end{bmatrix}[c1c2]=[3231]
将其代入通解：
[u1u2]=23[112]+13[1−1]e−3t\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}=\frac{2}{3}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}+\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}e^{-3t}[u1u2]=32[121]+31[1−1]e−3t
含义：[u1u2]\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}[u1u2]从[10]\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}[10]开始，随着t→∞，终将稳定在[2313]\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3} \end{bmatrix}[3231]的状态

五，特征值决定稳态和暂态

当λ<0时，随t→∞，eλte^{\lambda t}eλt→0，[x]eλt\begin{bmatrix}x\end{bmatrix}e^{\lambda t}[x]eλt为暂态解
当λ=0时，随t→∞，eλte^{\lambda t}eλt=1，[x]eλt\begin{bmatrix}x\end{bmatrix}e^{\lambda t}[x]eλt为稳态解
当λ>0时，随t→∞，eλte^{\lambda t}eλt→∞，[x]eλt\begin{bmatrix}x\end{bmatrix}e^{\lambda t}[x]eλt为发散解
当λ是复数，如λ=-3+6i，e(−3+6i)t=e−3t+e6ite^{(-3+6i)t}=e^{-3t}+e^{6it}e(−3+6i)t=e−3t+e6it，∣e6it∣=∣cos(6t)+isin(6t)∣=1|e^{6it}|=|cos(6t)+isin(6t)|=1∣e6it∣=∣cos(6t)+isin(6t)∣=1（因为是复平面上的单位圆，所以模=1），这个虚部的值在单位圆上转圈，因此只有实部e−3te^{-3t}e−3t起决定作用，λ=-3<0，e(−3+6i)te^{(-3+6i)t}e(−3+6i)t为暂态解
当λ都<0时，根据λ的性质，λ的和=A的迹<0，但反过来，λ的和=A的迹<0得到λ不一定都<0，同样适用于λ是复数的情况
当λ都<0时，根据λ的性质，λ的积=det(A)>0，同样适用于λ是复数的情况

六，利用对角化解耦

设方程组：u⃗′=Au⃗{\vec{u}}'=A\vec{u}u′=Au，A为耦合状态
令u⃗=Sv⃗\vec{u}=S\vec{v}u=Sv，S是A是特征向量矩阵
代入方程组，得：Sv⃗′=ASv⃗S{\vec{v}}'=AS\vec{v}Sv′=ASv
左乘S−1S^{-1}S−1，得：v⃗′=S−1ASv⃗=Λv⃗{\vec{v}}'=S^{-1}AS\vec{v}=\Lambda \vec{v}v′=S−1ASv=Λv
如果是二阶矩阵：[u1′u2′]=[λ100λ2][v1v2]\begin{bmatrix}{u_{1}}'\\ {u_{2}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda _{1} &0 \\0 & \lambda _{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{bmatrix}[u1′u2′]=[λ100λ2][v1v2]
此时方程组不再耦合
通解：v⃗=eΛtv0⃗\vec{v}=e^{\Lambda t} \vec{v_{0}}v=eΛtv0
可转化为：u⃗=Sv⃗=SeΛtv0⃗=SeΛtS−1Sv0⃗=eAtSv0⃗=eAtu0⃗\vec{u}=S\vec{v}=Se^{\Lambda t} \vec{v_{0}}=Se^{\Lambda t}S^{-1}S \vec{v_{0}}=e^{A t}S \vec{v_{0}}=e^{A t}\vec{u_{0}}u=Sv=SeΛtv0=SeΛtS−1Sv0=eAtSv0=eAtu0

七，矩阵指数eAte^{At}eAt

泰勒级数展开：eAt=I2+At+A22!t2+A33!t3+...+Ann!tne^{At}=I_{2}+At+\frac{A^{2}}{2!}t^{2}+\frac{A^{3}}{3!}t^{3}+...+\frac{A^{n}}{n!}t^{n}eAt=I2+At+2!A2t2+3!A3t3+...+n!Antn
具体可以看微分方程第二十九讲

矩阵指数公式：eAt=SeΛtS−1e^{A t}=Se^{\Lambda t}S^{-1}eAt=SeΛtS−1，前提是A可对角化
如果是二阶矩阵：eΛt=[eλ1t00eλ2t]e^{\Lambda t}=\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}t} & 0\\ 0 & e^{\lambda _{2}t}\end{bmatrix}eΛt=[eλ1t00eλ2t]，完全没有耦合
收敛的条件是：λ<0\lambda <0λ<0，（对比第二十二讲矩阵的幂公式的收敛条件）

八，将二阶微分方程转化为一阶微分方程组

设有二阶微分方程：y′′+by′+ky=0{y}''+b{y}'+ky=0y′′+by′+ky=0
建立微分方程组：{y′′=−by′−kyy′=y′\left\{\begin{matrix}{y}''=-b{y}'-ky\\ {y}'={y}'\end{matrix}\right.{y′′=−by′−kyy′=y′
化为矩阵：[y′′y′]=[−b−k10][y′y]\begin{bmatrix}{y}''\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-b & -k\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{y}'\\ y\end{bmatrix}[y′′y′]=[−b1−k0][y′y]
令u⃗=[y′y]\vec{u}=\begin{bmatrix}{y}'\\ y\end{bmatrix}u=[y′y]，则u′⃗=[y′′y′]\vec{{u}'}=\begin{bmatrix}{{y}'}'\\ {y}'\end{bmatrix}u′=[y′′y′]
u′⃗=[−b−k10]u⃗\vec{{u}'}=\begin{bmatrix}-b & -k\\ 1 & 0\end{bmatrix}\vec{u}u′=[−b1−k0]u

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{u1′=−u1+2u2u1′=u1−2u2\left\{\begin{matrix}{u_{1}}'=-u_{1}+2u_{2}\\ {u_{1}}'=u_{1}-2u_{2}\end{matrix}\right.{u1′=−u1+2u2u1′=u1−2u2

一，将微分方程组化为矩阵形式

[u1′u2′]=A[u1u2]=[−121−2][u1u2]\begin{bmatrix}{u_{1}}' \\ {u_{2}}'\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 2\\ 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}[u1′u2′]=A[u1u2]=[−112−2][u1u2]

二，求出A的λ\lambdaλ和xxx

三，方程组的通解

四，方程组的特解

五，特征值决定稳态和暂态

六，利用对角化解耦

七，矩阵指数eAte^{At}eAt

八，将二阶微分方程转化为一阶微分方程组

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{u1′=−u1+2u2u1′=u1−2u2\left\{\begin{matrix}{u_{1}}'=-u_{1}+2u_{2}\\ {u_{1}}'=u_{1}-2u_{2}\end{matrix}\right.{u1​′=−u1​+2u2​u1​′=u1​−2u2​​

一，将微分方程组化为矩阵形式

[u1′u2′]=A[u1u2]=[−121−2][u1u2]\begin{bmatrix}{u_{1}}' \\ {u_{2}}'\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 &amp; 2\\ 1 &amp; -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}[u1​′u2​′​]=A[u1​u2​​]=[−11​2−2​][u1​u2​​]

二，求出A的λ\lambdaλ和xxx

三，方程组的通解

四，方程组的特解

五，特征值决定稳态和暂态

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七，矩阵指数eAte^{At}eAt

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[u1′u2′]=A[u1u2]=[−121−2][u1u2]\begin{bmatrix}{u_{1}}' \\ {u_{2}}'\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 2\\ 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2} \end{bmatrix}[u1′u2′]=A[u1u2]=[−112−2][u1u2]

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