文章目录

基础几何知识
- 角的度量方式
- 角度弧度转换
- 三角函数
- 计算公式
- 常用三角函数值
- 使用方法
- Unity应用
向量
- 向量加减法
- 向量相减
- 向量相加
- 向量与标量的乘除
- 点乘
- 叉乘
- - 叉乘获得垂直向量
  - 左手规则
  - 叉乘计算角度
- 计算360°以内的角（点乘结合叉乘）
- Vector3

基础几何知识

角的度量方式

角的度量方式分为角度（Degree）和弧度（Radian）两种。角度就是将一个圆形切成360份，每一份就是1度角。弧度是当弧长等于圆的半径时即为1弧度。

如图所示：

角度弧度转换

常用换算：
π=180度\ \pi = 180度 π=180度
1弧度=180度/π\ 1弧度 = 180度 / \pi 1弧度=180度/π
1角度=π/180度\ 1角度 = \pi / 180度 1角度=π/180度

角度转弧度：

转换公式：弧度=角度数∗π/180\ 弧度 = 角度数 * \pi / 180 弧度=角度数∗π/180
Unity代码：radian = x * Mathf.Deg2Rad;

弧度转角度：

转换公式：角度=弧度数∗180/π\ 角度 = 弧度数 * 180 / \pi 角度=弧度数∗180/π
Unity代码：degree = x * Mathf.Rad2Deg;

三角函数

在直角三角形中（下图为例），如果a、b、c、x\ a、b、c、x a、b、c、x中的两个变量已知则能计算出另外两个变量的值。

计算公式

正弦：sin(x)=a/c\ sin(x) = a / c sin(x)=a/c （对比斜）
余弦：cos(x)=b/c\ cos(x) = b / c cos(x)=b/c （临比斜）
正切：tan(x)=a/b\ tan(x) = a / b tan(x)=a/b （对比临）
余切：cot(x)=b/a\ cot(x) = b / a cot(x)=b/a
正割：sec(x)=c/b\ sec(x) = c / b sec(x)=c/b
余割：csc(x)=c/a\ csc(x) = c / a csc(x)=c/a
反正弦：arcsin(a/c)=x\ arcsin(a / c) = x arcsin(a/c)=x
反余弦：arccos(b/c)=x\ arccos(b / c) = x arccos(b/c)=x
反正切：arctan(a/b)=x\ arctan(a / b) = x arctan(a/b)=x

已知一角和一边，求另外两边，用sin、cos、tan。
已知两边，求角，用arcsin、arccos、arctan。

常用三角函数值

使用方法

已知一个角和一条边，用 sin、cos、tan\ sin、cos、tan sin、cos、tan 。
已知两条边求角度，用 ArcSin、ArcCos、ArcTan\ ArcSin、ArcCos、ArcTan ArcSin、ArcCos、ArcTan 。

Unity应用

在代码中调用Mathf.Sin等三角函数方法时传入的参数并不是角度，而是弧度。

比如如果我们想要获取sin30度的值不能这样写：Mathf.Sin(30)。这样是错的。
正确的写法应该是Mathf.Sin(30 * Mathf.Deg2Rad)，将角度转为弧度再传参，得到的结果就是0.5了。

下图为官方API的描述。

要求输入的角度是以弧度为单位的，所以要用这些方法时经常要用到角度和弧度的转换。

向量

向量是一个数字列表，表示各个维度上的有向位移。它是一个有大小有方向的物理量。大小就是方向的模长，方向描述了空间中向量的指向。向量可以用来表示物体的位置和方向。

向量的大小：也就是向量的长度（一般称作为模），向量a的模记为 ∣a⃗∣\ | \vec a | ∣a∣ ，若 a⃗=(x,y,z)\ \vec a = (x, y, z) a=(x,y,z) 则 ∣a⃗∣=x2+y2+z2\ | \vec a | = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} ∣a∣=x2+y2+z2 。代码中使用myVector.magnitude来获取向量的大小。

单位向量：即模为1的向量，在Unity中单位向量也就代表了向量的方向。可以记作 a^\widehat{a}a 。一个向量的单位向量，可以通过除以它模得到，即 a^=a⃗∣a⃗∣\widehat{a} = \frac {\vec a} {| \vec a |}a=∣a∣a 。代码中使用myVector.normalized来获取向量的单位向量，也就是向量的方向。

零向量：即模为0的向量，零向量的方向是任意的。

相反向量：长度相等方向相反的向量，a⃗\ \vec a a 的相反向量为 −a⃗\ -\vec a −a。

平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作 a⃗//b⃗\ \vec a // \vec b a//b。

向量加减法

向量的加减就是向量对应分量的加减，类似于物理学中力的正交分解。

向量相减

向量相减等于各分量相减。

[x1,y1,z1]−[x2,y2,z2]=[x1−x2,y1−y2,z1−z2]\ [x1,y1,z1] - [x2,y2,z2] = [x1-x2 , y1-y2 , z1-z2] [x1,y1,z1]−[x2,y2,z2]=[x1−x2,y1−y2,z1−z2]

几何意义：向量a与向量b相减，结果理解为以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量。方向由b指向a。
注意：我们可以把向量相减理解为a、b终点的连接，但实际上该向量准确起始位置应该是坐标原点。

实际应用：计算两点之间的距离和相对方向。

向量相加

向量相加等于各分量相加。

[x1,y1,z1]+[x2,y2,z2]=[x1+x2,y1+y2,z1+z2]\ [x1,y1,z1] + [x2,y2,z2] = [x1+x2 , y1+y2 , z1+z2] [x1,y1,z1]+[x2,y2,z2]=[x1+x2,y1+y2,z1+z2]

几何意义：如下图，假设空间中有两个向量a和b，a与a’平行且长度相等，b与b’平行且长度相等。a+b就相当于a,b,a’,b’所围成的平行四边形的对角线。

也可以这么说，由向量a的起点出发，沿着a的方向走a的长度，然后沿着b的方向走b的长度，达到的点相当于从a的起点沿着a+b的方向走a+b的长度。

实际应用：物体的移动。

向量与标量的乘除

乘法：该向量的各分量与标量相乘 k[x,y,z]=[xk,yk,zk]\ k[x, y, z] = [xk, yk, zk] k[x,y,z]=[xk,yk,zk] 。
除法：该向量的各分量与标量相除 [x,y,z]/k=[x/k,y/k,z/k]\ [x, y, z]/k = [x/k , y/k , z/k] [x,y,z]/k=[x/k,y/k,z/k] 。
几何意义：缩放向量长度。

实际应用：加速、减速、放大、缩小。

点乘

点乘又称点积或内积。表示为各分量的乘积和。

[x1,y1,z1]⋅[x2,y2,z2]=x1x2+y1y2+z1z2\ [x1,y1,z1] \cdot [x2,y2,z2] = x1x2+y1y2+z1z2 [x1,y1,z1]⋅[x2,y2,z2]=x1x2+y1y2+z1z2

注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar），可以是负数。

几何意义：a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡(a,b)\ a \cdot b = |a||b|\cos(a, b) a⋅b=∣a∣∣b∣cos(a,b) 当a、b的模为1时，ab的点乘值为∠ab的cos值，再通过反余弦就可以获得角度。

// 计算点乘值
float dot = Vector3.Dot(a.position.normalized, b.position.normalized);
// 计算夹角
float angle = Mathf.Acos(dot) * Mathf.Rad2Deg;

第一步计算点乘值，第二步计算夹角。

实际应用：计算两向量的夹角。

点乘常用结果：对于标准化后的向量，方向相同，则点乘为1；方向相反，则点乘为-1；互相垂直，则点乘为0。

总结：点乘可以用于计算向量夹角，但只能用于计算内夹角，也就是小于180°的夹角。若想超过180°，则需要与叉乘结合。点乘的结果为单个数值。

叉乘

叉乘又称 “叉积” 或 “外积” ，与点乘结果不同，叉乘结果是一个向量，一个垂直于两个向量所组成平面的向量。模长为两向量模长乘积再乘夹角的正弦值。

公式：[x1,y1,z1]×[x2,y2,z2]=[y1∗z1−z1∗y2,z1∗x2−x1∗z2,x1∗y2−y1∗x2]\ [x1,y1,z1] \times [x2,y2,z2] = [y1*z1 - z1*y2 , z1*x2 - x1*z2 , x1*y2 - y1*x2] [x1,y1,z1]×[x2,y2,z2]=[y1∗z1−z1∗y2,z1∗x2−x1∗z2,x1∗y2−y1∗x2]

代码：Vector3 cross = Vector3.Cross(a.position, b.position);
注意：叉乘不需要加normalized，加不加都不会影响结果。

应用：

创建垂直于平面的向量；
判断两条向量的相对位置。

叉乘获得垂直向量

当 a 到 b 顺时针，则 a x b 朝上。
当 a 到 b 逆时针，则 a x b 朝下。

也可以这样理解：当a、b顺时针夹角小于180时， a x b 朝上；当a、b顺时针夹角大于180时， a x b 朝下。

代码判断：叉乘结果 y > 0 ，则朝上，则小于180°；叉乘结果 y < 0 ，则朝下，则大于180°；

左手规则

a、b向量叉乘获得的垂直向量遵循左手规则，以下图为例：

以上图手势为标准，垂直于拇指a和食指b形成的平面的向量result就是a、b叉乘的结果。

叉乘计算角度

叉乘也可以用来计算角度，但只能计算0° ~ 90°。

// 计算叉乘结果，叉乘不需要加normalized，但加了也不会有影响
Vector3 cross = Vector3.Cross(a.position, b.position);// 用叉乘结果换算角度
float angle = Mathf.Asin(cross.magnitude) * Mathf.Rad2Deg;

叉乘常用结果：

计算360°以内的角（点乘结合叉乘）

点乘结合叉乘，可以计算出360°以内的角。

// 先用点乘计算角度（180°以内）
float dot = Vector3.Dot(a.position.normalized, b.position.normalized);
float angleX = Mathf.Acos(dot) * Mathf.Rad2Deg;
// 再用叉乘后的y值确定方向
Vector3 cross = Vector3.Cross(a.position, b.position);
if (cross.y < 0)
{angleX = 360 - angleX;
}

先用点乘计算角度（180°以内），再用叉乘后的 y 值确定方向，得数 angleX 为 a 顺时针到 b 的角度。

Vector3

Unity中通常用Vector3类来表示向量，该类的使用方法可以参考我的另外一篇文章：【Unity】Unity常用类：向量Vector3、四元数Quaternion

更多内容请查看总目录【Unity】Unity学习笔记目录整理

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