[POI2006] OKR-Periods of Words题解

题面翻译

对于一个仅含小写字母的字符串 aaa，ppp 为 aaa 的前缀且 p≠ap\ne ap=a，那么我们称 ppp 为 aaa 的 proper 前缀。

规定字符串 QQQ（可以是空串）表示 aaa 的周期，当且仅当 QQQ 是 aaa 的 proper 前缀且 aaa 是 Q+QQ+QQ+Q 的前缀。

例如 ab 是 abab 的一个周期，因为 ab 是 abab 的 proper 前缀，且 abab 是 ab+ab 的前缀。

求给定字符串所有前缀的最大周期长度之和。

题目描述

A string is a finite sequence of lower-case (non-capital) letters of the English alphabet. Particularly, it may be an empty sequence, i.e. a sequence of 0 letters. By A=BC we denotes that A is a string obtained by concatenation (joining by writing one immediately after another, i.e. without any space, etc.) of the strings B and C (in this order). A string P is a prefix of the string !, if there is a string B, that A=PB. In other words, prefixes of A are the initial fragments of A. In addition, if P!=A and P is not an empty string, we say, that P is a proper prefix of A.

A string Q is a period of Q, if Q is a proper prefix of A and A is a prefix (not necessarily a proper one) of the string QQ. For example, the strings abab and ababab are both periods of the string abababa. The maximum period of a string A is the longest of its periods or the empty string, if A doesn’t have any period. For example, the maximum period of ababab is abab. The maximum period of abc is the empty string.

Task Write a programme that:

reads from the standard input the string’s length and the string itself,calculates the sum of lengths of maximum periods of all its prefixes,writes the result to the standard output.

输入格式

In the first line of the standard input there is one integer kkk (1≤k≤10000001\le k\le 1\ 000\ 0001≤k≤1 000 000) - the length of the string. In the following line a sequence of exactly kkk lower-case letters of the English alphabet is written - the string.

输出格式

In the first and only line of the standard output your programme should write an integer - the sum of lengths of maximum periods of all prefixes of the string given in the input.

样例 #1

样例输入 #1

8
babababa

样例输出 #1

思路

题意大致翻译过来就是让你在字符串a中寻找一个最大的前缀i，让这个i重复两遍能够覆盖住原来前缀i的前缀，相当于就是求前缀的前缀，一直递推到长度为0.

那么毫无疑问，我们需要运用到KMP，去使用nex数组的性质：前缀i的长度为next[i]的前缀和后缀是相等的。

可能有那么亿点绕口，

那么我们来举一个狸子

相信大家都能看懂啊，那么我们图中蓝色部分就是一个周期了，next[next[j]]就是前缀的前缀，而我们要想使周期最大，就要使前缀越小，且我们要使i=j，这样才能求道最小的前缀,那么我们就需要递推到最极端的情况，就是j>0的时候，这时候前缀最小，周期最大。

代码实现

先求出next数组

对于每个前缀i，令j=i，然后在j>0的情况下令j=next[j]（递推过程）（前缀的前缀），最小的j就是答案，此时ans+=i−j（很明显，图上就能看出来)。

一个优化：求出j以后，令j=next[i]（luogu不要过不了），这样能加快递归速度（相当于记忆化了）

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1000001];
long long n,nex[1000001];
void getnext(char s[],int len) {int i=0,j=-1;nex[0]=-1;while(i<len) {if(j==-1||s[i]==s[j]) {j++;i++;nex[i]=j;}else j=nex[j];}
}
int main() {cin>>n;scanf("%s",s);getnext(s,n);long long ans=0;for(int i=1; i<=n; i++) {int j=i;while(nex[j]) {j=nex[j];}if(nex[i]!=0) {nex[i]=j;}ans+=i-j;}cout<<ans;return 0;
}