映射（点到点）

拉回映射

推前映射

协变矢量和逆变矢量

切空间

切空间的矢量是协变矢量

余切空间

余切空间的矢量是逆变矢量

映射（点到点）

设 $M$ 与 $N$ 是两个流形，映射 $\phi :M\rightarrow N$ 是光滑映射，它将 $M$ 上的点映射到 $N$ 上。

拉回映射

设在流形 $N$ 上有一函数 $f:N\rightarrow R$ ;

在流形 $M$ 上有一点 $p$ ，映射 $\phi$ 将它映射到流形 $N$ 上的点 $\phi \left ( p \right )$ ，函数 $f$ 在点 $\phi \left ( p \right )$ 处的值为 $f|_{\phi \left ( p \right )}$ ，在流形 $M$ 上定义一个函数，使其在点 $p$ 处的值等于 $f|_{\phi \left ( p \right )}$ ，由于这个过程类似把函数 $f$ 从流形 $N$ 拉回到流形 $M$ 上，所以定义拉回映射 $\phi ^{*}$ 为：

$\left [ \phi ^{*}\left ( f \right )\right ]|_{p}=f|_{\phi \left ( p \right )}$

或简写为

$\phi ^{*}f|_{p}=f|_{\phi \left ( p \right )}$

即流形 $M$ 上的函数 $\phi ^{*}f$ 在点 $p$ 的值等于流形 $N$ 上的函数 $f$ 在点 $\phi \left ( p \right )$ 的值， $\phi ^{*}f$ 叫做 $f$ 的拉回。

推前映射

类似于拉回映射，可以定义推前映射 $\phi_{*}$ ：

$\phi_{*}f|_{\phi\left ( p \right )}=f|_{p}$

用于定义推前映射和拉回映射的函数 $f$ ，实际上确定了两个流形上的等价关系，或者说函数 $f$ 的值在映射 $\phi$ 下是不变量。

协变矢量和逆变矢量

设流形 $M$ 上点 $p$ 在它的坐标卡下为 $x$ ，流形 $N$ 上点 $\phi \left ( p \right )$ 在它的坐标卡下为 $x^{'}$ ,流形 $M$ 上有一函数 $f$ ，把它推前映射到流形 $N$ 是 $f^{'}$ ，那么有：

$f^{'}(x^{'})=f\left ( x \right )$

此式对 $x^{i}^{'}$ 求偏导得到：

$\frac{\partial f^{'}(x^{'})}{\partial x^{i'}}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\frac{\partial f(x)}{\partial x^{i}}$

若一个矢量在从点 $p$ 处到点 $\phi \left ( p \right )$ 处的变换规律与矢量 $\frac{\partial f(x)}{\partial x^{i}}$ 的变换规律相同，则称为协变矢量，反之称为逆变矢量。

切空间

设有一个定义在流形 $G$ 上的函数 $f:G\rightarrow R$ ；

在欧氏空间中，若在某点处给定一个矢量，就可以求出函数在此点的方向导数，仿照这一点，定义流形上一点处的切矢量（坐标卡为 $x^{i}$ ）:

$v=v_{i}\frac{\partial }{\partial x^{i}}$

当它作用在函数上：

$v\left ( f \right )=v_{i}\frac{\partial }{\partial x^{i}}\left ( f \right )=v_{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}$

就得到了“方向导数” $v_{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}$ ，加引号是因为此处的矢量 $v$ 并不一定是单位矢量，因此不仅仅代表某个方向，和原来方向导数的定义并不完全相同。

在流形上某点处以 $\frac{\partial }{\partial x^{i}}$ 为基，得到一个线性空间 $V$ ，称为此点处的切空间。

切空间的矢量是协变矢量

设确定了两个流形间的等价关系的函数 $f$ 的集合为 $F$ ，那么可以将切空间的中的矢量视为函数 $v:V\times F\rightarrow R$ ，将 $v$ 的推前记为 $\phi _{*}v$ ，由于

$\frac{\partial }{\partial x^{i'}}(f^{'}(x^{'}))=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\frac{\partial }{\partial x^{i}}(f(x))$

而且 $f^{'}(x^{'})=f\left ( x \right )$ ，所以

$\frac{\partial }{\partial x^{i'}}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\frac{\partial }{\partial x^{i}}$

根据定义，切矢量的基是协变矢量，而切矢量是它的基的线性组合，因此切矢量是协变矢量。

也即 $v_{i'}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}v_{i}$ ，其中 $v_{i}$ 和 $v_{i'}$ 是矢量的分量。

余切空间

余切空间是切空间的对偶空间，设它的基为 $e^{j}$ ，那么有

$e^{j}\frac{\partial }{\partial x^{i}}=\delta_{i}^{j}$

余切空间的矢量是逆变矢量

因为

$e^{j'}\frac{\partial }{\partial x^{i'}}=\delta_{i'}^{j'}=\delta_{i}^{j}\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{j}}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}=e^{j}\frac{\partial }{\partial x^{i}}\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{j}}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}$

又

$e^{j'}\frac{\partial }{\partial x^{'i}}=e^{j'}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}\frac{\partial }{\partial x^{i}}$

相减得

$\frac{\partial }{\partial x^{i}}(e^{j}\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{j}}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}-e^{j'}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{i'}})=0$

，因为 $\frac{\partial }{\partial x^{i}}$ 是任意的，所以有

$e^{j}\frac{\partial x^{j'}}{\partial x^{j}}=e^{j'}$

可以看到，余切空间中的基和切空间中的基的变换规律相反，因此余切矢量是逆变矢量。

因为 $d(f)=dx^{i}\frac{\partial }{\partial x^{i}}(f)$ ,而且 $d(f)$ 是不变量，所以 $dx^{i}$ 与 $\frac{\partial }{\partial x^{i}}$ 对偶，所以余切空间的基 $e^{i}$ 就是 $dx^{i}$ 。

总结

流形间映射过程中有不变量，利用不变量在两个流形上的偏导数的变换规律定义了切空间与余切空间，因此切空间与余切空间的本质来源就是两个流形之间的不变量。

切空间的矢量是协变矢量，变换规律与不变量对坐标的偏导相同；余切空间的矢量是逆变矢量，变换规律与不变量对坐标的偏导相反。

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拉回映射

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切空间

切空间的矢量是协变矢量

余切空间

余切空间的矢量是逆变矢量

总结

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