本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-三角函数的积分及三角替换-网易公开课

开发环境准备：CSDN

一、三角学中的基本知识

１、三角学公式:

(1) 倍角公式

(2) 半角公式

(3) 求导、求积

二、三角函数的积分

1、简单的情况： m，n 至少有一个是奇数

2、困难的情况： m，n 都是偶数（用半角公式）

三、例子

1、求上图中浅蓝色线条包裹部分的面积

一、三角学中的基本知识

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):yarr = []xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) for xval in xarr:yval = expr.subs(x,xval)yarr.append(yval)y_nparr = np.array(yarr) plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    theta = 45angle = np.linspace( 0 , 2 * np.pi , 150 ) radius = 1xarr = radius * np.cos( angle )
yarr = radius * np.sin( angle ) figure, axes = plt.subplots( 1 ) axes.plot( xarr, yarr, label='radius='+format(radius) ) angleInner = np.linspace( theta/180*np.pi , 0 , 150 )
xArcInner = radius /10 * np.cos( angleInner )
yArcInner = radius /10 * np.sin( angleInner ) axes.plot( xArcInner, yArcInner,color='b') plt.text(0.18, 0.03, 'θ', fontsize=9)axes.set_aspect( 1 ) x1 = np.cos( theta/180*np.pi )
y1 = np.sin( theta/180*np.pi ) xarr1 = [0,1]
yarr1 = [0,0]
plt.plot(xarr1, yarr1,'r',linestyle='-',marker='')xarr2 = [0,x1]
yarr2 = [0,y1]
plt.plot(xarr2, yarr2,'orange',linestyle='-',marker='')plt.plot([x1,x1], [0,y1],'green',linestyle='-',marker='')
plt.plot([0,x1], [0,0],'green',linestyle='-',marker='')plt.text(x1+0.05, y1+0.05, '(cosθ ,sinθ)', fontsize=9)
plt.text(-0.1, -0.1, 'O', fontsize=9)
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

三角学中所有知识都是基于圆心在 ( 0, 0 )，半径为1的⚪。

１、三角学公式:

$sin^2\theta + cos^2\theta =1$

$cos(2\theta) = cos^2 \theta -sin^2\theta$ (倍角公式)

$sin(2\theta) = 2sin\theta cos\theta$ (倍角公式)

(1) 倍角公式

x = symbols('x')
expr = cos(2*x)
DrawXY(-2,0,20,expr,color = 'c',label='cos(2x)',plt=plt)expr = cos(x)**2-sin(x)**2
DrawXY(0,2,20,expr,color = 'r',label='cos(x)**2+sin(x)**2',plt=plt)expr = sin(2*x)
DrawXY(-2,0,20,expr,color = 'b',label='sin(2x)',plt=plt)expr = 2*sin(x)*cos(x)
DrawXY(0,2,20,expr,color = 'g',label='2*sin(x)*cos(x)',plt=plt)plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

$cos(2\theta) = cos^2 \theta -(1-cos^2\theta)$

$cos^2(\theta) =\frac{cos(2\theta)+1}{2}$ (半角公式)

$cos(2\theta) =1 - 2sin^2 \theta$

$sin^2 \theta =\frac{1 - cos(2\theta)}{2}$ (半角公式)

(2) 半角公式

x = symbols('x')
expr = cos(x)**2
DrawXY(-2,0,20,expr,color = 'c',label='cos(x)**2',plt=plt)expr = (1+cos(2*x))/2
DrawXY(0,2,20,expr,color = 'r',label='(1+cos(2*x))/2',plt=plt)expr = sin(x)**2
DrawXY(-2,0,20,expr,color = 'b',label='sin(x)**2',plt=plt)expr = (1-cos(2*x))/2
DrawXY(0,2,20,expr,color = 'g',label='(1+cos(2*x))/2',plt=plt)plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

(3) 求导、求积

$sin'(x) = cos(x)dx : \int cos(x) dx = sin(x) +c$

$cos'(x) = -sin(x)dx : \int sin(x)dx = -cos(x) +c$

二、三角函数的积分

$\int sin^n(x)cos^m(x)dx$ .......( m, n = 0, 1, 2, 3,.... )

1、简单的情况： m，n 至少有一个是奇数

当m = 1时

$\int sin^n(x)cos(x)dx$

设 u = sin(x) ， du 同 sin'(x) = cos(x)dx

$\int u^ndu = \frac{1}{n+1} u^{n+1} +c= \frac{sin^{n+1}(x)}{n+1} +c$

当m=2, n=3时

$\int sin^3(x)cos^2(x)dx = \int sin(x)(1-cos^2(x))cos^2(x)dx$

$= \int (cos^2(x)-cos^4(x))sin(x)dx$

设 u = cos(x) ， du 同 cos'(x) = -sin(x)

$\int - (u^2-u^4)du = \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + c = \frac{cos^5(x)}{5} - \frac{cos^3(x)}{3} + c$

当m = 0, n =3时

$\int sin^3(x)dx = \int (1-cos^2(x))sin(x)dx$

设 u = cos(x) ， du 同 cos'(x) = -sin(x)

$\int -(1-u^2)du = \frac{u^3}{3} - u+c= \frac{cos^3(x)}{3} - cos(x) + c$

2、困难的情况： m，n 都是偶数（用半角公式）

m = 2, n = 0

$\int cos^2(x)dx$

由 $cos^2(\theta) =\frac{cos(2\theta)+1}{2}$

$\int cos^2(x)dx =\int \frac{cos(2x)+1}{2} dx = \frac{sin(2x)}{2\times 2} + \frac{x}{2} +c = \frac{sin(2x)}{4} + \frac{x}{2} +c$

m = 2, n = 2

由

$cos^2(\theta) =\frac{cos(2\theta)+1}{2}$ (半角公式)

$sin^2 \theta =\frac{1 - cos(2\theta)}{2}$ (半角公式)

$\int sin^2(x) cos^2(x)dx =\int (1-cos^2(x))cos^2(x)dx$

$\int \frac{(1-cos(2x)(1+cos(2x))}{4}dx = \int \frac{1-cos^2(2x)}{4}dx = \int \frac{1}{4}(1-\frac{1-cos(4x)}{2})dx$

$\frac{1}{8}\int2 -1-cos(4x)dx = \frac{1}{8}\int1-cos(4x)dx =\frac{1}{8} x- \frac{sin(4x)}{32}+c$

另

由 $sin(2\theta) = 2sin\theta cos\theta$ (倍角公式)

$\int sin^2(x) cos^2(x)dx =\int (sin(x) cos(x))^2dx = \int (\frac{sin(2x)}{2})^2dx$

$=\int \frac{sin^2(2x)}{4}dx = \int \frac{1}{4}(1-\frac{cos(4x)}{2})dx$

$\frac{1}{8}\int2 -1-cos(4x)dx = \frac{1}{8}\int1-cos(4x)dx =\frac{1}{8} x- \frac{sin(4x)}{32}+c$

三、例子

theta = 45r = 1
figure, axes = plt.subplots( 1 )
radius = rangle = np.linspace( theta/180*np.pi , 2 * np.pi , 150 )
xarr = radius * np.cos( angle )
yarr = radius * np.sin( angle )
axes.plot( xarr, yarr, label='radius=r',color = 'b') angle = np.linspace( 0 , theta/180*np.pi , 150 )
xarr = radius * np.cos( angle )
yarr = radius * np.sin( angle )
axes.plot( xarr, yarr, label='' ,color = 'c') angleInner = np.linspace( theta/180*np.pi , 0 , 150 )
xArcInner = radius /10 * np.cos( angleInner )
yArcInner = radius /10 * np.sin( angleInner ) axes.plot( xArcInner, yArcInner,color='b') plt.text(0.18, 0.03, 'θ', fontsize=9)axes.set_aspect( 1 ) x1 = np.cos( theta/180*np.pi )
y1 = np.sin( theta/180*np.pi ) plt.plot([0,0], [0,y1],'c')
plt.plot([0,0], [y1,1],'b')
plt.text( -0.2, y1, 'y=b', fontsize=9)xarr1 = [0,1]
yarr1 = [0,0]
plt.plot(xarr1, yarr1,'c',linestyle='-',marker='')plt.plot([0,x1], [y1,y1],'c')xarr2 = [0,x1]
yarr2 = [0,y1]
plt.plot(xarr2, yarr2,'orange',label = '')plt.plot([x1,x1], [0,y1],'green',linestyle='-',marker='')
plt.plot([0,x1], [0,0],'c')plt.text(x1+0.05, y1+0.05, '(r*cosθ ,r*sinθ)', fontsize=9)
plt.text(-0.1, -0.1, 'O', fontsize=9)plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

1、求上图中浅蓝色线条包裹部分的面积

一般来说是列如: $\int f(x)dx$ 求体积，这个例子比较麻烦，需要分开两段计算，因为f(x) 在 $x = r \times cos \theta$ 点前后，有不同的定义。

因为这例子中 f(y) 对 y 轴的包裹面积可以用一个式子表达，所以考虑用如下算式计算面积: $\int f(y) dy$

$A = \int_{0}^{b} \sqrt{r^2-y^2} dy$

$\sqrt{r^2-y^2} = \sqrt{r^2-(r\times sin(\theta))^2} = r cos(\theta)$

$dy = (rsin(\theta))' =rcos(\theta) d\theta$

$A = \int \sqrt{r^2-y^2} dy = \int r cos(\theta) \times rcos(\theta) d\theta = \int r^2cos^2(\theta)d\theta$

由前面例子可知： $\int cos^2(x)dx = \frac{sin(2x)}{4} + \frac{x}{2} +c$

$\int r^2cos^2(\theta)d\theta = r^2 ( \frac{sin(2\theta)}{4} + \frac{\theta}{2}) +c$

由 $sin(2\theta) = 2sin\theta cos\theta , \theta = arcsin(\frac{y}{r})$

所以：

$A = \int \sqrt{r^2-y^2} dy=r^2 ( \frac{2sin(\theta)cos(\theta)}{4} + \frac{\theta}{2} ) + c$

$= r^2 ( \frac{2\frac{y}{r}\frac{\sqrt{r^2-y^2}}{r}}{4} + \frac{arcsin(\frac{y}{r})}{2} ) +c$

$= \frac{y\sqrt{r^2-y^2}}{2} + \frac{r^2arcsin(\frac{y}{r})}{2} +c$

$A = \int_0^b \sqrt{r^2-y^2}$

$= \frac{y\sqrt{r^2-y^2}}{2} + \frac{r^2arcsin(\frac{y}{r})}{2} +c |_{0}^{b} = \frac{b\sqrt{r^2-b^2}}{2} + \frac{r^2arcsin(\frac{b}{r})}{2}$

上面红色三角形的面积正是计算公式这部分 $\frac{b\sqrt{r^2-b^2}}{2}$

由扇形面积公式： $\frac{lr}{2}$ （l为弧长），弧长公式： $l = \theta r$ ( \theta 为弧度)， $\frac{lr}{2} = \frac{r^2\theta}{2}$

上面绿色扇形的面积正是计算公式这部分 $\frac{r^2arcsin(\frac{b}{r})}{2}$

第四单元用python学习微积分（二十四）三角函数的积分以及三角替换相关推荐

第四单元用python学习微积分（二十七）积分-部分分式-分部积分
本文内容来自于学习麻省理工学院公开课:单变量微积分-分部积分-网易公开课开发环境准备:CSDN 目录一.多项式部分分式方法求积分 1.效果 2.步骤 (1) 长除法 (2) 分解因式 (fac ...
第四单元用python学习微积分（二十六）积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用
本文内容来自于学习麻省理工学院公开课:单变量微积分-部分分式-网易公开课开发环境准备:CSDN 部分分式方法(Partial Fractions) = 有理函数(rational function) ...
第二单元用python学习微积分（十）曲线构图下和最值问题
本文内容来自于学习麻省理工学院公开课:单变量微积分-最值问题-网易公开课开发环境准备:CSDN 目录一.曲线构图例子二.曲线构图总结: 1.描点 a 找到函数的不连续点(尤其是函数值趋向于无穷的 ...
Python学习日记(二十四) 继承
继承什么是继承?就是一个派生类(derived class)继承基类(base class)的字段和方法.一个类可以被多个类继承;在python中,一个类可以继承多个类. 父类可以称为基类和超类,而 ...
【Python学习系列二十四】scikit-learn库逻辑回归实现唯品会用户购买行为预测
1.背景:http://www.datafountain.cn/#/competitions/260/intro DataFountain上的唯品会用户购买行为预测比赛题目,笔者用逻辑回归实现,分数是 ...
python接口自动化测试二十四：上传多个附件，参数化
python接口自动化测试二十四:上传多个附件,参数化 # 添加多个附件参数化files = [("1.png", "1.png") ("2.png& ...
Stduino学习（二十四）敲击传感器模块
37种传感器(二十四)敲击传感器模块+Stduino Nano&UNO 本文转载自:http://www.stduino.com/forum.php?mod=viewthread&ti ...
STM32学习心得二十四：内部温度传感器原理及实验
记录一下,方便以后翻阅~ 主要内容: 1) STM32内部温度传感器概述: 2) 相关实验代码解读. 实验功能:系统启动后,实时将内部温度传感器的值传至串口助手上. 官方资料:<STM32中文参 ...
第三单元用python学习微积分（二十二）功、平均值、概率（下）和数值积分(1)
本文内容来自于学习麻省理工学院公开课:单变量微积分-数值积分-网易公开课用python解方程组_星-耀的博客-CSDN博客_python解方程组做功_百度百科开发环境准备:CSDN 目录一.概 ...

第四单元用python学习微积分（二十四）三角函数的积分以及三角替换

一、三角学中的基本知识

１、三角学公式:

(1) 倍角公式

(2) 半角公式

(3) 求导、求积

二、三角函数的积分

1、简单的情况： m，n 至少有一个是奇数

2、困难的情况： m，n 都是偶数（用半角公式）

三、例子

1、求上图中浅蓝色线条包裹部分的面积

第四单元用python学习微积分（二十四）三角函数的积分以及三角替换相关推荐

最新文章

热门文章

第四单元 用python学习微积分（二十四）三角函数的积分以及三角替换

一、三角学中的基本知识

１、三角学公式:

(1) ​倍角公式

(2) ​ 半角公式

(3) 求导、求积

二、三角函数的积分

1、 简单的情况： m，n 至少有一个是奇数

2、 困难的情况： m，n 都是偶数 （用半角公式）

三、例子

1、求上图中浅蓝色线条包裹部分的面积

第四单元 用python学习微积分（二十四）三角函数的积分以及三角替换相关推荐

最新文章

热门文章

第四单元用python学习微积分（二十四）三角函数的积分以及三角替换

(1) 倍角公式

(2) 半角公式

1、简单的情况： m，n 至少有一个是奇数

2、困难的情况： m，n 都是偶数（用半角公式）

第四单元用python学习微积分（二十四）三角函数的积分以及三角替换相关推荐