二元隐函数求二阶偏导_多元函数隐函数微分二阶偏导的求法

满意答案

hhdayf

2014.04.23

采纳率：53% 等级：9

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只有三个二阶偏导，∂²z/∂x²，∂²z/∂y²，∂²z/(∂x∂y)，(∂²z/(∂x∂y)和∂²z/(∂y∂x)是等价的，与求偏次序无关)。

z³ - 2xz + y = 0

z关于x的一阶偏导数为∂z/∂x

3z²(∂z/∂x) - 2z - 2x(∂z/∂x) = 0

∂z/∂x = 2z/(3z² - 2x)

关于x的二阶偏导数

∂²z/∂x² = {2(∂z/∂x)(3z² - 2x) - 2z[6z((∂z/∂x)-2]}/(3z² - 2x)²

把(∂z/∂x)代入上式化简计算就得到了z关于x的二阶偏导数

z关于y的一阶偏导数为∂z/∂y

3z²(∂z/∂y) - 2x(∂z/∂y) +1 = 0

∂z/∂y = -1/(3z² - 2x)

二阶偏导数

∂²z/∂y² = 6z(∂z/∂y)/(3z² - 2x)² = 6z/(3z² - 2x)³

在z关于y的一阶偏导数的基础上求的二阶混合偏导数∂²z/(∂x∂y)

∂²z/(∂x∂y) = ∂²z/(∂y∂x) = [6z(∂z/∂x) - 2]/(3z² - 2x)²

代入关于x的一阶偏导可得二阶混合偏导

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