二元复合函数求二阶偏导

设z=F(x+f(2x−y),y),其中F,f二阶连续偏导数，求∂2z∂y2.设z = F(x+f(2x-y),y),其中F,f二阶连续偏导数，求\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}. 设z=F(x+f(2x−y),y),其中F,f二阶连续偏导数，求∂y2∂2z.

解：
∂z∂y=F1′f′⋅(−1)+F2′\frac{\partial z}{\partial y} = F'_1f'·(-1)+F'_2 ∂y∂z=F1′f′⋅(−1)+F2′
∂2z∂y2=∂F1′f′⋅(−1)∂y+∂F2′∂y\frac{\partial ^2z}{\partial y^2} = \frac{\partial F'_1f'·(-1)}{\partial y} + \frac{\partial F'_2}{\partial y} ∂y2∂2z=∂y∂F1′f′⋅(−1)+∂y∂F2′
其中：
∂F1′f′⋅(−1)∂y=f′(F11′′f′−F12′′)+F1′f′′\frac{\partial F'_1f'·(-1)}{\partial y} = f'(F''_{11}f'-F''_{12}) + F'_1f'' ∂y∂F1′f′⋅(−1)=f′(F11′′f′−F12′′)+F1′f′′
∂F2′∂y=F21′′f′⋅(−1)+F22′′\frac{\partial F'_2}{\partial y} = F''_{21}f'·(-1) + F''_{22} ∂y∂F2′=F21′′f′⋅(−1)+F22′′
综上：
∂2z∂y2=F11′′(f′)2−2F12′′f′+F1′f′′+F22′′\frac{\partial ^2z}{\partial y^2} = F''_{11}(f')^2-2F''_{12}f' + F'_1f'' + F''_{22} ∂y2∂2z=F11′′(f′)2−2F12′′f′+F1′f′′+F22′′

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