BCNF范式的判断和分解

首先，怎么判断一个关系是不是BCNF范式？

简单来说，对于一个关系R，每个函数依赖X→Y的左侧都包含关系R的码，也就是说每个函数依赖的左侧都是关系R的一个超码，那么这个关系R是BCNF范式的。

另一种判断方式是，对每个函数依赖X→Y的左侧求闭包，如果对于每一个函数依赖，左侧的闭包包含关系R中的所有属性，那么这个关系R是BCNF范式的。

反之，用以上方法判断时，如果出现函数依赖不满足以上条件，那么就存在违背BCNF范式的情况，这个关系R就不是BCNF范式的。

现在，我们有一个关系R和它一个函数依赖集合S，那么我们怎么把R分解成BCNF范式的关系呢？

1. 首先根据以上办法判断R是不是BCNF范式，如果是的话，那么以下步骤不需要。

2. 如果存在违背BCNF的函数依赖，任取其中一个，假设我们取X→Y，计算X的闭包X+（本文中的+都应该是上角标），则R1=X+, R2=X∪（R-X+）。

3. 分别计算R1和R2的函数依赖集合S1和S2。

4. 判断R1和R2 是不是BCNF范式，如果不是，根据其对应的函数依赖集合，重复2，3，4步骤，继续进行分解，直到分解后的关系遵循BCNF范式。

下面，我们以一个例子来说明以上这个BCNF分解算法怎么使用？

假设我们有一个关系表R={A,B,C,D,E,F,G}，它的函数依赖集合为S={A→B, C→E，CD→F, F→G}。

{A,C,D} 是这个表的码。

A 姓名	B 系	C 课程	D 年份	E 学分	F 教师	G 办公室
小明	计算机系	数据库	2021	5	张三	B123
小明	计算机系	C语言	2020	5	张三	B123
小红	电子系	网络基础	2020	5	李四	A123
小花	软件系	数据库	2020	5	王五	A112
小花	软件系	网络基础	2021	5	李四	A123
小白	电子系	高等数学	2020	2	赵六	C123
小胖	计算机系	C语言	2019	5	周七	B112
小强	软件系	高等数学	2020	2	赵六	C123
小林	计算机系	英语	2020	5	田八	D123

按照以上步骤对R进行分解：

1. 首先对每一个函数依赖的左侧求闭包，找出违反BCNF的依赖。

S={A→B, C→E，CD→F, F→G}

A→B： {A}+={A,B}

C→E：{C}+={C,E}

CD→F：{CD}+={C,D,E,F,G}

F→G：{F}+={F,G}

可以看出，这四个依赖都违反了BCNF，任取其中一个进行下面的步骤，这里以CD→F为例。

2. R1={CD}+={C,D,E,F,G}，R2={C,D}∪{R-{CD}+}={A,B,C,D} .

3.找出R1 和R2的函数依赖集合S1和S2，这是由原关系R的函数依赖集合S得到的。

对于R1={C,D,E,F,G}， S1={C→E, CD→F, F→G}

对于R2={A,B,C,D}, S2={A→B}

4. 对S1和S2，重复步骤1，判断R1和R2是不是遵循BCNF范式。

这里，R2违反了BCNF范式。所以我们取它的A→B，进一步求出它分解得到的两个关系。

R3={A}+={A,B}, R4={A}∪{R-{A}+}={A,C,D}

5. 判断R3和R4是不是符合BCNF，对于R4，不存在任何的函数依赖，这也可以说明R4是BCNF范式的。

所以R={A,B,C,D,E,F,G}，我们分解成了R1={C,D,E,F,G}，R3={A,B}， R4={A,C,D}。

到此所有分解后的关系都遵循BCNF，可以结束分解，否则需要继续重复以上步骤。

另外，如果不做以上过程，想要直接得出分解后的结果，有一个非常容易的小技巧。

如果R不遵循BCNF范式，只需任取一个违反BCNF的函数依赖，分解后的关系R1包含这个函数依赖的所有属性（箭头左右都包括），R2包括R中除掉这个函数依赖右侧属性的其他所有属性。再继续对R1和R2分解直至所有的表都是BCNF的。这个过程和上一个方法可能不一样，但是最终结果的所有表都是一样的。

希望能够将步骤写的尽可能详细，可能有些啰嗦，如果能够理解分解过程，就会容易很多。

如有错误，欢迎指正。

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