二元线性方程组与二阶行列式

前置知识：

【定义】二阶行列式

设二元线性方程组：
{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2 \end{cases} \tag{1} {a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)
当 a11a22−a12a21≠0a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \ne 0a11a22−a12a21=0 时，用消元法分别消去未知数 x2x_2x2 和 x1x_1x1，可以求得方程组 (1) 的解为
x1=b1a22−a12b2a11a22−a12a21,x2=a11b2−b1a21a11a22−a12a21(2)x_1 = \frac{b_1 a_{22} - a_{12} b_2}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}, \hspace{1em} x_2 = \frac{a_{11} b_2 - b_1 a_{21}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} \tag{2} x1=a11a22−a12a21b1a22−a12b2,x2=a11a22−a12a21a11b2−b1a21(2)
利用二阶行列式的概念，若记
D=∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21D1=∣b1a12b2a22∣=b1a22−a12b2D2=∣a11b1a21b2∣=a11b2−b1a21\begin{align*} D & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \\ D_1 & = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = b_1 a_{22} - a_{12} b_2 \\ D_2 & = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} = a_{11} b_2 - b_1 a_{21} \end{align*} DD1D2=∣∣a11a21a12a22∣∣=a11a22−a12a21=∣∣b1b2a12a22∣∣=b1a22−a12b2=∣∣a11a21b1b2∣∣=a11b2−b1a21
那么式 (2) 可以写成
x1=D1D=∣b1a12b2a22∣∣a11a12a21a22∣,x2=D2D=∣a11b1a21b2∣∣a11a12a21a22∣(3)x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}, \hspace{1em} x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \tag{3} x1=DD1=∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣b1b2a12a22∣∣,x2=DD2=∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣a11a21b1b2∣∣(3)
式 (3) 中的 DDD 是由方程组的系数所确定的二阶行列式（称系数行列式）；D1D_1D1 是用常数项 b1,b2b_1,b_2b1,b2 替换 DDD 中第 1 列的元素 a11,a21a_{11},a_{21}a11,a21 所得的二阶行列式；D2D_2D2 是用常数项 b1,b2b_1,b_2b1,b2 替换 DDD 中第 2 列的元素 a21,a22a_{21},a_{22}a21,a22 所得的二阶行列式。

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