Lebesgue可测函数

定义1： 设E⊂RnE \sub \mathbb{R}^nE⊂Rn是可测集，fff是EEE上的函数，如果对于任意常数ttt，集合E(f>t)=def{x∈Rn∣x∈E,f(x)>t}E(f>t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}^n|x \in E,f(x)>t\}E(f>t)=def{x∈Rn∣x∈E,f(x)>t}都是可测集，则称函数fff是EEE上的Lebesgue可测函数，简称为EEE上的可测函数，也可以称为fff在EEE上可测。

定理1： 设fff是可测集EEE上一个实函数，则以下主诸条件互相等价：
（1）f∈Mf \in \mathcal{M}f∈M；
（2）∀t∈R\forall t \in \mathbb{R}∀t∈R，E(f≥t)E(f\ge t)E(f≥t)是可测集；
（3）∀t∈R\forall t \in \mathbb{R}∀t∈R，E(f<t)E(f < t)E(f<t)是可测集；
（4）∀t∈R\forall t \in \mathbb{R}∀t∈R，E(f≤t)E(f\le t)E(f≤t)是可测集。

定义2： 设E⊂RnE \sub \mathbb{R}^nE⊂Rn是可测集，E1,E2,⋯,EmE_1,E_2,\cdots,E_mE1,E2,⋯,Em是EEE的互不相交的可测子集，且⋃j=1mEj=E\bigcup\limits_{j=1}^mE_j =Ej=1⋃mEj=E，α1,α2,⋯,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_mα1,α2,⋯,αm是常数，称EEE上函数ψ(x)=∑i=1mαiχEi(x)\psi(x)=\sum\limits_{i=1}^m\alpha_i \chi_{E_i}(x)ψ(x)=i=1∑mαiχEi(x)为简单函数。特别地，当每个EiE_iEi是矩体时，称ψ(x)\psi(x)ψ(x)是阶梯函数。

定理2： 对任意可测集EEE，EEE上的简单函数是可测的。

定理3： 设E⊂RnE \sub \mathbb{R}^nE⊂Rn是可测集，则f(x)f(x)f(x)是EEE上非负可测函数的充分必要条件是，存在EEE上的非负简单函数列{ψk(x)}\{\psi_k(x)\}{ψk(x)}，使得0≤ψ1(x)≤ψ2(x)≤⋯≤ψk(x)≤⋯,0\le \psi_1(x)\le \psi_2(x)\le \cdots\le \psi_k(x)\le \cdots,0≤ψ1(x)≤ψ2(x)≤⋯≤ψk(x)≤⋯,lim⁡k→∞ψk(x)=f(x),∀x∈E,\lim\limits_{k \rightarrow \infty}\psi_k(x)=f(x),\quad \forall x \in E,k→∞limψk(x)=f(x),∀x∈E,

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