测度上Lebesgue积分的确定

本文假定读者有基本的测度论知识,故仅对测度做简单介绍.

Definition 1 \text{Definition 1 }Definition 1 集合XXX的子集族τ\tauτ称为拓扑,若τ\tauτ满足(1)∅,X∈τ\varnothing ,X\in \tau∅,X∈τ;(2)可列元素的交的封闭性;(3)有限、可列、或不可列元素的并的封闭性.
这样(X,τ)(X,\tau)(X,τ)被称为一个拓扑空间,若x∈τx\in \taux∈τ,称xxx是开集.

Definition 2 \text{Definition 2 }Definition 2 集合XXX的子集族M\mathfrak{M}M称为σ−\sigma-σ−代数,若τ\tauτ满足(1)X∈τX\in \tauX∈τ;(2)补集元素的封闭性(交集逆元);(3)可列元素的并的封闭性.
这样(X,M)(X,\mathfrak{M})(X,M)被称为一个可测空间,若x∈Mx\in \mathfrak{M}x∈M,称xxx是可测集.

注:M\mathfrak{M}M满足除了不可列元素并的封闭性以外拓扑空间的所有性质.

Defintion 3 \text{Defintion 3 }Defintion 3 设XXX是一个拓扑空间,则XXX中存在一个最小的σ−\sigma-σ−代数B\mathscr{B}B使得τ⊂B\tau\subset\mathscr{B}τ⊂B.若x∈Bx\in \mathscr{B}x∈B,称xxx是Borel\text{Borel}Borel集.

Defintion 4 \text{Defintion 4 }Defintion 4 若X,YX,YX,Y是拓扑空间,设f:X→Yf:X\to Yf:X→Y,若f−1(τY)⊆τXf^{-1}(\tau_Y)\subseteq \tau_Xf−1(τY)⊆τX,那么称fff是连续的.

Defintion 5 \text{Defintion 5 }Defintion 5 若X,YX,YX,Y分别是可测空间和拓扑空间,设f:X→Yf:X\to Yf:X→Y,若f−1(τY)⊆MXf^{-1}(\tau_Y)\subseteq \mathfrak{M}_Xf−1(τY)⊆MX,那么称fff是可测的.

Defintion 6 \text{Defintion 6 }Defintion 6 若YYY是拓扑空间,XXX上有一B\mathscr{B}B,设f:X→Yf:X\to Yf:X→Y,若f−1(τY)⊆BXf^{-1}(\tau_Y)\subseteq \mathscr{B}_Xf−1(τY)⊆BX,那么称fff是Borel\text{Borel}Borel可测的.

设广义实域R‾=R∪{−∞,+∞}\overline{R}=R\cup \{-\infty,+\infty\}R=R∪{−∞,+∞},下界符号inf⁡\infinf,上界符号sup⁡\supsup,特征函数XE(x)=[x∈E]\mathcal{X}_E(x)=[x\in E]XE(x)=[x∈E].若我们说f:X→Yf:X\to Yf:X→Y可测,则假定X,YX,YX,Y分别是可测空间和拓扑空间.

先给出一个引理:
Lemma 7 \text{Lemma 7 }Lemma 7 若f:X→Yf:X\to Yf:X→Y将XXX,YYY的开集或可测集映射,那么在X,YX,YX,Y容许的封闭性下.
若x,y∈P(P是MX或τX)x,y\in P(P是\mathfrak{M}_X或\tau_X)x,y∈P(P是MX或τX),那么f(x∪y)=f(x)∪f(y),f(x∩y)=f(x)∩f(y)f(x\cup y)=f(x)\cup f(y),f(x\cap y)=f(x)\cap f(y)f(x∪y)=f(x)∪f(y),f(x∩y)=f(x)∩f(y),
若x,y∈P(P是MY或τY)x,y\in P(P是\mathfrak{M}_Y或\tau_Y)x,y∈P(P是MY或τY),那么f−1(x∪y)=f−1(x)∪f−1(y),f−1(x∩y)=f−1(x)∩f−1(y)f^{-1}(x\cup y)=f^{-1}(x)\cup f^{-1}(y),f^{-1}(x\cap y)=f^{-1}(x)\cap f^{-1}(y)f−1(x∪y)=f−1(x)∪f−1(y),f−1(x∩y)=f−1(x)∩f−1(y),

这个引理体现了拓扑空间和可测空间的良好性质.有了这个引理,下面几个定理都好证了.

Theorem 8 \text{Theorem 8 }Theorem 8
(1)若f:X→Yf:X\to Yf:X→Y可测,g:Y→Zg:Y\to Zg:Y→Z连续,则g∘fg\circ fg∘f可测;
(2)若f:X→Yf:X\to Yf:X→Y连续,g:Y→Zg:Y\to Zg:Y→Z连续,则g∘fg\circ fg∘f连续.
(3)若f:X→Yf:X\to Yf:X→Y可测,g:Y→ZBorelg:Y\to Z \text{Borel}g:Y→ZBorel可测,则g∘fg\circ fg∘f可测;

Theorem 9 \text{Theorem 9 }Theorem 9 设X,YX,YX,Y分别是可测空间和拓扑空间,有一映射f:X→Yf:X\to Yf:X→Y
(1)设Ω={E⊂Y∣f−1(E)∈MX}\Omega=\{E\subset Y|f^{-1}(E)\in \mathfrak{M}_X\}Ω={E⊂Y∣f−1(E)∈MX}.那么Ω\OmegaΩ是XXX上的σ−\sigma-σ−代数.
(2)设fff可测,若E∈BYE\in \mathscr{B}_YE∈BY,那么f−1(E)∈MXf^{-1}(E)\in \mathfrak{M}_Xf−1(E)∈MX.
(3)设Y=R‾Y=\overline {R}Y=R,且对于任意α∈R\alpha\in Rα∈R,f−1((α,∞])∈MXf^{-1}((\alpha,\infty])\in \mathfrak{M}_Xf−1((α,∞])∈MX,那么fff可测.

Theorem 10 \text{Theorem 10 }Theorem 10 设{fn}\{f_n\}{fn}是X→R‾X\to \overline{R}X→R上可测的.那么sup⁡n⩾1fn\displaystyle \sup_{n\geqslant 1} f_nn⩾1supfn和lim⁡‾n→∞fn\underset{n\to \infty}{\overline{\lim}} f_nn→∞limfn均可测.

Definition 11 \text{Definition 11 }Definition 11 设s:X→[0,∞)s:X\to [0,\infty)s:X→[0,∞),并有∣ims∣<∞|\mathrm{im}s|<\infty∣ims∣<∞,我们知道ims\mathrm{im}sims是可列的,设其中的元素为αi,i=1...∣ims∣\alpha_i,i=1...|\mathrm{im} s|αi,i=1...∣ims∣.因此=∑i=1nαiX{x∣s(x)=αi}\displaystyle =\sum_{i=1}^n \alpha_i \mathcal{X}_{\{x|s(x)=\alpha_i\}}=i=1∑nαiX{x∣s(x)=αi}.

Theorem 12 \text{Theorem 12 }Theorem 12 设f:X→[0,∞]f:X\to [0,\infty]f:X→[0,∞]可测,那么
(1)存在XXX上一单增简单函数序列{sn}\{s_n\}{sn}满足sup⁡n→∞sn=f\displaystyle \sup_{n\to \infty} s_n=fn→∞supsn=f.
(2)存在XXX上一简单函数序列{sn}\{s_n\}{sn}的点态极限为fff.
这一个定理不如之前那些定理好证.书上给出了一个函数列的构造φn(t)=kn(t)δn\varphi_n(t)=k_n(t)\delta_nφn(t)=kn(t)δn,若0⩽t<n0\leqslant t<n0⩽t<n,否则φn(t)=n\varphi_n(t)=nφn(t)=n.
其中定义kn(t)k_n(t)kn(t)为使得kδn⩽t<(k+1)δnk\delta_n\leqslant t < (k+1)\delta_nkδn⩽t<(k+1)δn的唯一整数.

Definition 13 \text{Definition 13 }Definition 13 设正测度为一映射f:MX→[0,∞]f:\mathfrak{M}_X\to [0,\infty]f:MX→[0,∞],如果若{Ai}是正交可列集\{A_i\}是正交可列集{Ai}是正交可列集,那么μ(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞μ(Ai)\displaystyle \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)μ(i=1⋃∞Ai)=i=1∑∞μ(Ai).

若一个可测空间(X,M)(X,\mathfrak{M})(X,M)具有一个定义在M\mathfrak{M}M上的正测度fff,称其为测度空间,记为(X,M,f)(X,\mathfrak{M},f)(X,M,f).

我们终于看见了这个理论中熟悉的一面.如果XXX指为样本集SSS,那么M\mathfrak{M}M成为SSS上的事件AAA的集合,从而事件的概率为P:{A∣A⊂P(S)}→[0,1]P:\{A|A\subset \mathcal{P}(S)\}\to [0,1]P:{A∣A⊂P(S)}→[0,1]的映射,因为[0,1]⊂[0,∞][0,1]\subset[0,\infty][0,1]⊂[0,∞],所以PPP是合理定义的,从而所有在基本概率论中的公理可以推及测度空间的定理,绝大部分测度空间的定理可以用概率测度帮助理解.

并根据上文,我们现在有了一个测度空间(X,M,μ)(X,\mathfrak{M},\mu)(X,M,μ),以下所有的定理围绕这个假定展开.

下文中的sss是这样的一个映射:
sss是可测的非负简单函数,定义ims={s1,s2,..,sn}\mathrm{im}s=\{s_1,s_2,..,s_n\}ims={s1,s2,..,sn},并设Si={x∈X∣s(x)=si}S_{i}=\{x\in X|s(x)=s_i\}Si={x∈X∣s(x)=si}.

Definition 14\text{Definition 14}Definition 14若E∈ME\in \mathfrak{M}E∈M,定义sss关于测度μ\muμ的积分:
∫Esdμ=∑i=1nsiμ(Si∩E)\int_{E} s\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^n s_i\mu(S_i\cap E)∫Esdμ=i=1∑nsiμ(Si∩E)

规定0⋅∞=00\cdot \infty =00⋅∞=0,这样一个积分拥有良好的定义.

由定理11可以定义所有f:X→[0,∞]f:X\to [0,\infty]f:X→[0,∞]的可测函数的积分:
∫Efdμ=sup⁡s⩽f∫Esdμ\int _E f\mathrm{d} \mu=\sup_{s\leqslant f}\int _E s\mathrm{d} \mu∫Efdμ=s⩽fsup∫Esdμ

左侧积分被称为Lebesgue\text{Lebesgue}Lebesgue积分,并可写作Lμ(f):M→[0,∞]L_\mu(f):\mathfrak{M}\to [0,\infty]Lμ(f):M→[0,∞],若测度明显给定,简记为L(f)L(f)L(f).

Lebesgue\text{Lebesgue}Lebesgue积分根据测度空间的特征,拥有下列性质:
Property 15\text{Property 15}Property 15
(1)若0⩽f⩽g0\leqslant f\leqslant g0⩽f⩽g,那么(L(f))(E)⩽(L(g))(E)(L(f))(E)\leqslant (L(g))(E)(L(f))(E)⩽(L(g))(E).
(2)若f⩾0f\geqslant 0f⩾0,且A⊂BA\subset BA⊂B,那么(L(f))(A)⩽(L(f))(B)(L(f))(A)\leqslant (L(f))(B)(L(f))(A)⩽(L(f))(B).
(3)若c∈[0,∞)c\in [0,\infty)c∈[0,∞),且f⩾0f\geqslant 0f⩾0,那么(L(cf))(E)=c(L(f))(E)(L(cf))(E)=c(L(f))(E)(L(cf))(E)=c(L(f))(E).
(4)若f=0或μ=0f=0或\mu=0f=0或μ=0,那么即使μ(E)=∞或每一个x∈E,f(x)=∞\mu(E)=\infty或每一个x\in E,f(x)=\inftyμ(E)=∞或每一个x∈E,f(x)=∞,都有(L(f))(E)=0(L(f))(E)=0(L(f))(E)=0.
(5)若f⩾0f\geqslant 0f⩾0,那么(L(f))(E)=(L(XEf))(X)(L(f))(E)=(L(\mathcal{X}_Ef))(X)(L(f))(E)=(L(XEf))(X).
(6)设φ=L(f)\varphi=L(f)φ=L(f),那么φ\varphiφ仍然是一个测度.
(7)设s,ts,ts,t均是上面定义的非负简单函数,那么(L(s+t))(E)=(L(s))(E)+(L(t))(E)(L(s+t))(E)=(L(s))(E)+(L(t))(E)(L(s+t))(E)=(L(s))(E)+(L(t))(E).

提示:(1)用sup⁡\supsup的性质;(2)设B=A∪CB=A\cup CB=A∪C,并用正测度的性质;(5)用μ(E∪Ec)XE=μ(E)\mu(E\cup E^c)\mathcal{X}_E=\mu(E)μ(E∪Ec)XE=μ(E);(6)用正测度的性质;(7)把s+ts+ts+t分为新的简单函数取值段{x∣x=si+tj}\{x|x=s_i+t_j\}{x∣x=si+tj},并利用有限和式的性质.

Theorem 16 \text{Theorem 16 }Theorem 16 设{fn}\{f_n\}{fn}为XXX上一可测的单增函数序列.
且假设其点态极限为fff,我们根据定理12,fff是可测的.于是:
lim⁡n→∞∫Xfndμ=∫Xfdμ\lim_{n\to \infty} \int _{X} f_n \mathrm{d}\mu=\int _{X} f\mathrm{d}\mun→∞lim∫Xfndμ=∫Xfdμ

证明:由性质15,∫fn⩽∫fn+1\int f_n\leqslant \int f_{n+1}∫fn⩽∫fn+1,由广义的单调有界定理,∃α∈[0,∞],s.t∫Xfndμ=α\exists \alpha \in [0,\infty],s.t \displaystyle \int _{X}f_n \mathrm{d}\mu= \alpha∃α∈[0,∞],s.t∫Xfndμ=α.
因为任意fn⩽ff_n\leqslant ffn⩽f,所以α⩽∫Xfdμ\alpha\leqslant \displaystyle \int _{X}f \mathrm{d}\muα⩽∫Xfdμ.
考虑一个En={x∣fn(x)⩾cs(x)}E_n=\{x|f_n(x)\geqslant cs(x)\}En={x∣fn(x)⩾cs(x)},其中ccc是任意的一个0<c<10< c<10<c<1,s是任意一个0⩽s⩽f0\leqslant s\leqslant f0⩽s⩽f.
得α=lim⁡c→1lim⁡n→∞∫Xfndμ⩾lim⁡c→1lim⁡n→∞∫Encsdμ⩾lim⁡n→∞∫Ensdμ⩾∫Xsdμ\displaystyle \alpha = \lim_{c\to 1}\lim _{n\to \infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu\geqslant \lim_{c\to 1}\lim _{n\to \infty}\int_{E_n} cs\mathrm{d}\mu\geqslant \lim _{n\to \infty}\int_{E_n} s\mathrm{d}\mu\geqslant \int_{X} s\mathrm{d}\muα=c→1limn→∞lim∫Xfndμ⩾c→1limn→∞lim∫Encsdμ⩾n→∞lim∫Ensdμ⩾∫Xsdμ.
取s=sup⁡s⩽fss=\sup_{s\leqslant f} ss=sups⩽fs即可.

Theorem 17\text{Theorem 17}Theorem 17设{fn}\displaystyle \{f_n\}{fn}每项均是X→[0,∞]X\to [0,\infty]X→[0,∞]的可测函数.
那么∫X∑n=1∞fndμ=∑n=1∞∫Xfndμ\int _{X}\sum_{n=1}^{\infty}f_n\mathrm{d}\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int _{X}f_n\mathrm{d}\mu∫Xn=1∑∞fndμ=n=1∑∞∫Xfndμ

提示:令gm=∫X∑n=1mfndμg_m=\displaystyle \int _{X}\sum_{n=1}^{m}f_n\mathrm{d}\mugm=∫Xn=1∑mfndμ,证明其符号交换的可行性,并用定理16.

以下定理表明算子d\mathrm{d}d在勒贝格积分下的一阶微分不变性.
Theorem 18 \text{Theorem 18 }Theorem 18
设f:X→[0,∞]f:X\to [0,\infty]f:X→[0,∞]可测,且
φ(E)=∫Efdμ(E∈M)\varphi(E)=\int _{E} f\mathrm{d}\mu\ \ \ \ (E\in \mathfrak{M})φ(E)=∫Efdμ (E∈M)
性质15.6说φ\varphiφ也是个测度.
则对任意可测的g:X→[0,∞]g:X\to [0,\infty]g:X→[0,∞],有
∫Egdφ=∫Egfdμ\int _{E} g\mathrm{d}\varphi=\int _{E} gf\mathrm{d}\mu∫Egdφ=∫Egfdμ
把"∫Eg\int _{E} g∫Eg"拿去,该定理同样可以写作dφ=fdμd\varphi=f\mathrm{d}\mudφ=fdμ.

Definition 19 \text{Definition 19 }Definition 19 说性质PPP在E⊂XE\subset XE⊂X上几乎处处成立,就是在说对于一个正测度μ\muμ,如果N⊂EN\subset EN⊂E,若μ(N)≠0\mu(N)\neq 0μ(N)̸=0,则性质PPP成立,若μ(N)=0\mu(N)=0μ(N)=0,则性质PPP不一定成立.
把μ(N)=0\mu(N)=0μ(N)=0的集NNN称为零测度集.

这篇文章以下面一个定理结束.它说明了任意正测度μ\muμ的完备化过程,因此我们可以假定任意正测度都是完备的.

Theorem 20 \text{Theorem 20 }Theorem 20 设(X,M,μ)(X,\mathfrak{M},\mu)(X,M,μ)是一个测度空间,构造一个(X,M′,μ′)(X,\mathfrak{M}',\mu')(X,M′,μ′),使得若A,B∈M,A⊂BA,B\in \mathfrak{M},A\subset BA,B∈M,A⊂B,且μ(B−A)=0\mu(B-A)=0μ(B−A)=0,但有R⊂X,R̸∈MR\subset X,R\not \in \mathfrak{M}R⊂X,R̸∈M,我们就令R∈M′R\in \mathfrak{M}'R∈M′,且μ′(R)=μ(A)\mu'(R)=\mu(A)μ′(R)=μ(A).
这种完备化是合理的,并有,若f:X→[0,∞]f:X\to [0,\infty]f:X→[0,∞]可测,有:
∫Efdμ=∫Efdμ′\int _E f d\mu =\int _E f d\mu' ∫Efdμ=∫Efdμ′
可以证明(X,M′,μ′)(X,\mathfrak{M}',\mu')(X,M′,μ′)依然是一个测度空间.把μ′\mu'μ′称作完备测度.

测度上Lebesgue积分的确定相关推荐

《实变函数简明教程》，第四章：Lebesgue积分，在可测集E上Lebesgue可积的函数f在E的可测子集F上仍Lebesgue可积
<实变函数简明教程>,第四章:Lebesgue积分,在可测集E上Lebesgue可积的函数f在E的可测子集F上仍Lebesgue可积待分析命题证明过程待分析命题设E⊂RnE\s ...
《实变函数简明教程》，第四章：Lebesgue积分，零测集上的任意非负简单函数Lebesgue可积且积分值为0
<实变函数简明教程>,第四章:Lebesgue积分,零测集上的任意非负简单函数Lebesgue可积且积分值为0 待分析命题证明过程一点注记待分析命题设E⊂RnE\subset ...
《实变函数简明教程》，第四章：Lebesgue积分，零测集上的任意非负实值函数Lebesgue可积且积分值为0
<实变函数简明教程>,第四章:Lebesgue积分,零测集上的任意非负实值函数Lebesgue可积且积分值为0 待分析命题证明过程待分析命题设E⊂RnE\subset {{\ma ...
【泛函分析】Riemann积分与Lebesgue积分
4.4 Riemann 积分和 Lebesgue 积分 4.4.1 Riemann 积分的可积性定义. 若闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有 n + 1 n+1 n+1 个点: ...
测度论与概率论笔记4：测度空间上的积分（上）
测度空间上的积分测度空间的积分非负简单函数的积分非负可测函数的积分一般可测函数的积分积分的性质三大积分极限定理 Levi渐升列定理 Fatou引理 Lebesgue控制收敛定理测度空间的 ...
测度论与概率论笔记5：测度空间上的积分（下）
测度空间上的积分 Lebesgue积分与Lebesgue-Stieltjes积分 Lebesgue积分与Riemann积分的关系 Riemann-Stieltjes积分的定义与计算 Lebesgue- ...
[实变函数]5.5 Riemann 积分和 Lebesgue 积分
1 记号: 一元函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的 (1)Riemann 积分: $\dps{(R)\int_a^b f(x)\rd x}$; (2)Lebesgue 积分: $\dps{(L)\ ...
[实变函数]5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分
本节中, 设 $f,g,f_i$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数, $A,B$ 是 $E$ 的可测子集. 1 定义: (1) $f$ 在 $E$ 上的 Lebesgue 积分 ...
[实变函数]5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介
1 Riemann 积分的局限性 (1) Riemann 积分与极限的条件太严: $$\bex f_k\rightrightarrows f\ra \lim \int_a^b f_k ...

测度上Lebesgue积分的确定

测度上Lebesgue积分的确定相关推荐

最新文章

热门文章