Lebesgue外测度—实变函数与泛函分析

引言

19世纪下半叶，不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度的概念。1898年，博雷尔（Borel）建立了以为Borel点集的测度，法国数学家勒贝格（Lebesgue）在20世纪初叶系统地建立了测度论，并成功地就建立起新的积分理论。它发表于1902年的论文《积分、长度与面积》被公认为现代测度和积分理论的奠基之作。1915年，法国数学家弗雷歇（M.Frechet）提出一般σ\sigmaσ代数上建立测度，开始创立抽象测度理论。1918年左右希腊数学家卡拉泰奥多里（Caratheodory）关于外测度的研究，对于现代形式测度理论的形成起了关键作用。
Rn\mathbb{R}^{n}Rn上点集的Lebesgue测度是关于点集的一种度量，它是长度、面积和体积的一种直接而自然的推广；它是Lebesgue积分理论的基石。Lebesgue积分是黎曼积分的推广，它将积分对象从黎曼可积函数类扩充到更大一类函数—可测函数类。

外测度

考虑Rn\mathbb{R}^{n}Rn中的开矩体I={(x1,x2,⋯,xn)∣ai<xi<bi,i+1,2,⋯},I=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|a_i<x_i<b_i,i+1,2,\cdots\},I={(x1,x2,⋯,xn)∣ai<xi<bi,i+1,2,⋯},可定义其体积为∣I∣=∏i=1n(bi−ai)|I|=\prod\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)∣I∣=i=1∏n(bi−ai)

定义1： 设EEE是Rn\mathbb{R}^nRn的点集，若{Ik}k=1∞\{I_k\}^{\infty}_{k=1}{Ik}k=1∞是Rn\mathbb{R}^nRn中的一个开矩体，且是EEE的一个覆盖，则它确定了一个非负实数u=∑k=1∞∣Ik∣u=\sum\limits_{k=1}^{\infty}|I_k|u=k=1∑∞∣Ik∣记m∗(E)=inf⁡{u∣u=∑k=1∞∣Ik∣,⋃k=1∞Ik⊃E,Ik是开矩体}m^{*}(E)=\inf\left\{u|u=\sum\limits_{k=1}^{\infty}|I_k|,\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}I_k \supset E, I_k是开矩体\right\}m∗(E)=inf{u∣u=k=1∑∞∣Ik∣,k=1⋃∞Ik⊃E,Ik是开矩体}称m∗(E)m^{*}(E)m∗(E)是集合EEE的Lebesgue外测度，简称外测度。

定理1： Rn\mathbb{R}^nRn中点集外测度具有以下性质：
（1）非负性：m∗(E)≥0m^{*}(E)\ge 0m∗(E)≥0，m∗(∅)=0;m^{*}(\emptyset)=0;m∗(∅)=0;
（2）单调性：若E1⊂E2E_1 \sub E_2E1⊂E2，则m∗(E1)≤m∗(E2);m^{*}(E_1)\le m^{*}(E_2);m∗(E1)≤m∗(E2);
（3）次可加性：m∗(⋃k=1∞Ek)≤∑k=1∞m∗(Ek);m^{*}\left(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}E_k \right) \le\sum\limits_{k=1}^{\infty}m^{*}(E_k);m∗(k=1⋃∞Ek)≤k=1∑∞m∗(Ek);
（4）平移不变性：m∗(E+{x})=m∗(E)m^{*}(E+\{x\})=m^{*}(E)m∗(E+{x})=m∗(E)，∀x∈Rn\forall x\in\mathbb{R}^n∀x∈Rn，其中E+{x}={y+x∣y∈E}E+\{x\}=\{y+x|y\in E\}E+{x}={y+x∣y∈E}

证明：
（1）由定义直接得出。
（2）当E1⊂E2E_1 \sub E_2E1⊂E2时，E2E_2E2的任一开矩列覆盖也是E1E_1E1的一个覆盖，由外测度定义显然得到性质（2）。
（3）不妨设∑k=1∞m∗(Ek)<+∞\sum\limits_{k=1}^{\infty}m^{*}(E_k)< +\inftyk=1∑∞m∗(Ek)<+∞。对于∀ε>0,k∈N\forall \varepsilon >0,k\in \mathbb{N}∀ε>0,k∈N，存在EkE_kEk的一个开矩列覆盖{Ik,j}j=1∞\{I_{k,j}\}_{j=1}^{\infty}{Ik,j}j=1∞，Ek∈⋃j=1∞Ik,jE_k\in \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}I_{k,j}Ek∈j=1⋃∞Ik,j，且∑j=1∞∣Ik,j∣≤m∗(Ek)+ε2k\sum\limits_{j=1}^{\infty}|I_{k,j}|\le m^{*}(E_k)+\frac{\varepsilon}{2^k}j=1∑∞∣Ik,j∣≤m∗(Ek)+2kε由此可见⋃k=1∞Ek⊂⋃k,j=1∞,∑k,j=1∞∣Ik,j∣≤∑k=1∞m∗(Ek)+ε\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}E_k \sub\bigcup\limits_{k,j=1}^{\infty},\quad \sum\limits_{k,j=1}^{\infty}|I_{k,j}|\le \sum\limits_{k=1}^{\infty}m^{*}(E_k)+\varepsilonk=1⋃∞Ek⊂k,j=1⋃∞,k,j=1∑∞∣Ik,j∣≤k=1∑∞m∗(Ek)+ε由ε\varepsilonε的任意性，即得次可加性结论。
（4）因为矩体在平移下体积不变，故对于任意得矩体III，有∣I+{x}∣=∣I∣|I+\{x\}|=|I|∣I+{x}∣=∣I∣。于是对于EEE得任意覆盖{Ik}\{I_k\}{Ik}，经平移后{Ik+{x}}\{I_k+\{x\}\}{Ik+{x}}是E+{x}E+\{x\}E+{x}的一个覆盖，从而m∗(E+{x})≤∑k=1∞∣Ik+{x}∣=∑k=1∞∣Ik∣m^{*}(E+\{x\})\le \sum\limits_{k=1}^{\infty}|I_k+\{x\}|=\sum\limits_{k=1}^{\infty}|I_k|m∗(E+{x})≤k=1∑∞∣Ik+{x}∣=k=1∑∞∣Ik∣由EEE的外测度定义知，m∗(E+{x})≤m∗(E+{x})m^{*}(E+\{x\})\le m^{*}(E+\{x\})m∗(E+{x})≤m∗(E+{x})反之，考虑将集合E+{x}E+\{x\}E+{x}作平移−x-x−x，可得原点集EEE。因而有m∗(E)≤m∗(E+{x}).m^{*}(E)\le m^{*}(E+\{x\}).m∗(E)≤m∗(E+{x}).

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