Matlab小波变换对于奇异点的检测

Matlab小波变换对于奇异点的检测

1．信号的突变性

突变信号又称奇异信号，突变信号的突变点经常携带比较重要的信息,是信号的重要特征之一。在数字信号处理和数字图像处理中具有非常重要的作用和地位，信号的突变性检测是先对原信号在不同尺度上进行“磨光”，再对磨光后信号的一阶或二阶倒数检测其极值点或过零点。对信号进行磨光处理，主要是为了消除噪声而不是边缘。传统的信号突变检测方法是基于傅立叶变换的，由某一函数的傅立叶变换趋近于零的快慢来推断该函数是否具有突变性，但它只能反映信号的整体突变性，而对信号的局部突变则无法描述。这样我们就引入小波变换算法。

2．信号的突变点的检测原理

设h(t)是函数f(t)和g(t)的卷积，即：

则根据傅立叶变换的性质有：

==

=

所以得到：

若将函数f(t)看作是信号，g(t)看作是滤波器，那么信号的导数与滤波器的卷积结果可以看作是滤波器的导数与信号的卷积。例如，如果选g(t)为高斯函数，则利用其导数可以构造Morlet小波和Maar小波，因此，小波变换的突变点和极值点与信号f(t)的突变点和极值点具有对应关系，利用小波可以检测突变信号。具体过程如下：

设是一个起平滑作用的低通平稳函数，且满足条件

通常取为高斯函数，即

假设是二次可导的，并且定义

则函数、满足小波的容许条件：

，

因此可用做小波母函数。

若记，则表示在尺度因子s下的伸缩。由于小波变换就是将原信号同伸缩小波卷积得到的，为此以为小波函数定义的卷积型小波变换为：

由此可见，小波变化分别是函数在尺度s下由平滑后再取一阶、二阶导数。当s较小时，用对平滑的结果对的突变位置影响不大；当s较大时，则此平滑过程会将的一些细小的突变削去，而只剩下大尺寸的突变。由此我们可知，当小波函数可看作某一平滑函数的一阶导数时，信号小波变换模的局部极值点对应信号的突变点(或边缘)。当小波函数可看作某一平滑函数的二阶导数时，信号小波变换模的过零点，也对应信号的突变点(或边缘)。

这就是采用检测小波变换系数模的过零点和局部极值点可检测信号突变点(或边缘)的原理。

3．小波变换的基本理论

短时傅里叶变换的问题的症结在于使用了固定的窗口，而对实际时变信号的分析需要时频窗口具有自适应性：对于高频谱的信息，时间间隔要相对地小以给出较高的精度；对于低频谱的信息，时间间隔要相对地宽以给出完全的信息。换句话说，重要的是要有一个灵活可变的时间-频率窗，能够在“高中心频率”时自动变窄，而在“低中心频率”时自动变宽。而小波函数就是为此而设计的。

小波(wavelet)即小区域的波，是一种特殊的长度有限的平均值为0的波形。其定义为：

设为一平方可积函数，即，若其傅里叶变换满足条件：

则称为一个小波母函数或基本小波，式(1)为小波函数的可容许条件。通过对上述基本小波进行平移和缩放，得到函数：

称为依赖于的小波基函数。式中为伸缩因子，为平移因子。由于因子为连续的，所以将称为连续小波基。

将任意空间中的函数在小波基下展开，称这种展开式为的连续小波变换，其表达式为：

连续小波变化是一种数学变化方法，但它在信号分析和数据处理中具有鲜明而又重要的物理意义。因此，信号的连续小波变换就是一系列带通滤波器对滤波后的输出。中的反应了带通滤波器的带宽和中心频率，则为滤波后输出的时间参数，若伸缩因子变化，带通滤波器的带宽和中心频率也变化，越小，带宽越大，中心频率也越大。反之，越大，带宽越窄，中心频率也越小。通过这样的带通滤波器，信号变化缓慢的地方主要为低频，频率范围也比较窄，此时小波变换的带通滤波器相当于大的情况。反之，信号发生突变的地方，主要是高频成分，频率范围也比较宽，小波变换的带通滤波器相当于小的情况。因此，伸缩因子由大到小变化，滤波的范围也从高频到低频变化。这就是小波变换的“变焦性”。

所以，信号的连续小波变换从定义上看是一种积分形式的数学变换。而从系统响应的角度去分析，它实质上为信号经过一系列带通滤波器的输出。另外从频谱分析的角度看，小波变换时将信号分解到一系列选择性相同的频带上。

4. Fourier变换

Fourier变换由下列公式定义：

正变换

逆变换

对于确定信号和平稳随机信号，傅里叶变换时信号分析和信号处理技术的理论基础，有着非凡的意义，起着重大作用。

傅里叶变换把时间域与频率域联系起来，具有明确的物理含义，通过研究来研究，许多在时间域内难以看清的问题，在频率中往往表现得非常清楚。

但正是由于傅里叶变换的域变换特性，与彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。作为变换积分核的的幅值在任何情况下均为1，即=1，因此，频谱在任一频率处的值是由时间过程在整个时间域()上的贡