概率论的学习和整理11：伯努利试验的3种分布：0-1分支，几何分布， 二项分布
1 伯努利试验
1.1 什么是伯努利试验
伯努利试验
- 伯努利试验是一个有两种结果的简单试验，它的结果是成功或失败，黑或白，开或关，没有中间的立场。
- 每次试验的结果只有两个：事件发生或不发生，或多种结果归纳为高度抽象为两种
伯努利概型是一种基于独立重复试验的概率模型，它的基本特征：
- 在一组固定不变的条件下重复地做一种试验。
- 每次试验的结果只有两个：事件发生或不发生，或多种结果归纳为高度抽象为两种
- 每次试验中，相同事件发生的概率均一样。(试验样本总数和概率不能变)
- 各次重复试验的结果是相互独立，互不影响的。
- 1重伯努利试验 就是 0-1分布
- n 重伯努利试验 就是二项分布 p=C(n,k)*p^k*(1-p)^n-k
N重伯努利试验 和二项分布
优势
- 不要求具体的样本总量的具体 数量
- 只需要知道概率就行，但要求概率是稳定不变的（多次伯努利试验时）
- 还需要知道 抽样试验的次数，目标事件的次数
局限性
- 能不能用二项分布先判断，是不是符合N重伯努利试验，如果不符合就没戏
- 二项分布，伯努利试验，需要保证样本容量确定，且分布也要稳定，否则不能
- 必须是放回抽样
- 如果是不放回抽样，
- 要么认为样本极其大，忽略样本总量变化，概率变化不稳定的影响
- 要么得用超几何分布
使用时注意点
- 需要严格认识的地方：
- N次试验，每次试验都稳定，样本总数和概率都稳定才能视为N重伯努利试验，才能用二项分布
- 不放回抽样，一般不适合二项分布
- 因为小样本量前提下，不放回抽样会破坏第一次试验后的样本空间数和概率，发生变化！第2次试验无法和第1次相同了
- 如果样本量足够大，即使是不放会抽样，可以用二项分布近似
1.2 伯努利试验相关的3种分布
- 0-1分布
- 只进行1次伯努利试验的随机变量，符合0-1分布，f(x=k)=p^k*(1-p)^(1-k)
- k={0,1}
- 几何分布：
- 进行n次伯努利试验，只有最后1次成功，成功次数第N次,N符合几何分布
- f(x=k)=p*(1-p)^(k-1)
- 其中 k 是总试验次数，一共进行了k次，且第k次（也就是最后1次）成功
- 二项分布：
- 进行N次伯努利试验，有k次成功，成功次数k符合二项分布
- f(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
- 其中n是总试验次数，k是成功次数（对应成功的概率p）
2 关于0-1分布 (也称为伯努利分布 \ ab分布 \ 两点分布等)
2.1 0-1分布的基本概率和公式
0-1分布：只进行1次伯努利试验的随机变量，结果只有2种，符合0-1分布
一个随机事件，发生记为k=1，不发生记为k=0，若事件服从0-1分布，
则k的分布律为：
k 0 1
p(k) 1-p p
- 0-1分布的概率公式 f(x)=p^k*(1-p)^(1-k)
- k={0,1}
- 其实就是
- k=1时，f(x)=p
- k=0时，f(x)=1-p
2.2 0-1分布的概率分布图，pdf 和 cdf
- 0-1分布，因为只有1次试验
- 只有两种结果
- 所以分布图看起来就是这种直线。。。。
| k | p1 | p2 | p3 | p4 | p5 | |
| 0 | 0.9 | 0.8 | 0.5 | 0.2 | 0.1 | |
| 1 | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.8 | 0.9 | |
| cdf | 0 | 0.9 | 0.8 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2.3 0-1分布的期望和方差
- E(X) = 0*(1-p)+1*p = p
- D(X) = p*(1-P)
- 缺少证明过程
3 几何分布
3.1 什么是几何分布
几何分布就是一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
详细地说是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
- 首先几何分布，属于古典概型/ 伯努利试验
- 特点是：只有每次试验只可能有两种结果
- 如果只做1次试验，那是属于0-1分布，但是如果做N次试验，但是只有最后一次成功，则随机变量符合 几何分布，但是如果做N次试验，没其他限制，则随机变量符合 二项分布
- 由上可知，0-1分布，几何分布，应该都可以归纳为，二项分布的一种特例。
4 二项分布
4.1 什么是二项分布 和N重伯努利试验
- 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，
- 其中每次试验的成功概率为p。
- 其实，只有符合N重伯努利试验的随机变量，才可能服从二项分布！
- 二项分布包含0-1分布和几何分布
- 当n=1时，二项分布就是伯努利分布，也就是0-1分布，如果只有最后一次成功又是几何分布。
4.2 二项分布的公式
- 一般地，如果随机变量服从参数为和的二项分布，我们记为或。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：
- p(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
- 其中n是总试验次数，k是成功次数（对应成功的概率p）
- 式中k=0，1，2，…
- 而C(n,k)= n!/(n-k)!*k! 是二项式系数,（这就是二项分布名称的由来）
- 该公式可以用以下方法理解：我们希望有k次成功(p)和n−k次失败(1 −p)。
- 并且，k次成功可以在n次试验的任何地方出现，而把k次成功分布在n次试验中共有个C(n,k)不同的方法。
4.3 二项分布的两个概率的概念理解
- 二项分布，指的是N次试验里成功k次的概率符合二项分布
- 而内部的单次试验，是伯努利试验，其单次试验的概率p，是稳定不变的。
- N 次试验里成功k次的概率的 k~~p(k) 情况
- p(k) 是 表示多次试验，且要求（n次出k次成功）的概率
- p(k) 和单次试验的概率P不要混淆
4.4 二项分布概率分布函数
4.4.1 二项分布的pdf 和cdf 如图
- 二项分布的pdf
- 二项分布的cdf
4.4.2 二项分布的pdf 的变化
先看下整体图
- 纵向是，单次伯努利试验的p提升
- 横向是，试验次数n的增加
- 内部里面是，坐标系的横轴是 n次试验成功次数k，k的概率变化
纵向看
- 在总试验次数不变的前提下，随着 单次伯努利试验里，概率p的增加
- 整个二项分布的波峰逐渐右移，意味着，波峰是概率最高的次数逐渐变大（概率越大，n次试验内成功k次，k也会越大，符合直觉）
- 概率很小的时候，可能只成功0次，1次的概率很大，
- 概率很大的时候，试验n次,k次成功的k越来越大，甚至接近n了
横向看
- 在单次伯努利试验里，概率p不变的前提下，随着试验次数的增多
- 整个二项分布的波峰逐渐右移，意味着，波峰是概率最高的次数逐渐变大（概率不变，n次试验内成功k次，试验次数n越多，k也会越大，符合直觉）
- 但是概率不变前提下， 虽然成功的次数k变多了，但比例并不变（因为基础的单次伯努利试验的概率没变，这是横向变化的前提）
4.5 二项分布的期望和方差
- 二项分布的期望
- E(X)=n*p
- 二项分布的方差
- D(X)=n*p*(1-P)
缺乏推导过程
4.6 二项分布的一个例题
- 如果像利用二项分布，需要灵活的去划分样本空间为2种结果，比如例题中的
- 这样划分2种：这次抽样后需要调整机器 == 对应的变量是本次检验，次品数量>1
- 今天某次检查次品数>1==今天需要调整机器 / 对立今天不调整机器
- 每天检查4次，相当于做了4次伯努利试验
- 方法1，完全用了二项分布思路和解法
- 方法2，用了古典概型的，每次试验都是独立的，和加法原理加起来算的
- 注意，为了达到目标事件，事件可能需要几次户型转化，随机变量可能要转化几次
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