前言

  • 几何分布，和超几何分布，听名字很像
  • 但实际上这两种随机变量，没有任何关系

1 什么是几何分布

  • 一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
  • 详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
  1. 首先几何分布，属于古典概型/ 伯努利试验，特点是：只有每次试验只可能有两种结果
  2. 如果只做1次试验，那是属于0-1分布
  3. 如果做N次试验，但是只有最后一次成功，则随机变量符合 几何分布
  4. 如果做N次试验，没其他限制，则随机变量符合 二项分布
  5. 由上可知，0-1分布，几何分布，应该都可以归纳为，二项分布的一种特例。

2 几何分布在概率分布中的定位

3 几何分布的公式

几何分布的公式

  • 在伯努利试验中，成功的概率为p
  • 若ξ表示出现首次成功时的试验次数，则ξ是离散型随机变量
  • 它只取正整数，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p (k=1，2，…，0<p<1)，此时称随机变量ξ服从几何分布。
  • 也就是 P(ξ=k)=(1-p)^(k-1) *p
  • 它的期望为1/p，方差为(1-p)/(p的平方)。

4 为什么叫几何分布

  • 几何分布  P(ξ=k)=(1-p)^(k-1) *p
  • 就是因为分布的各项，都是等比数列！
  • 就是因为分布的各项，中间项都是前后两项的几何平均数，所以叫几何分布！

4.1 先需要了解算术平均数和几何平均数

  • 首先要了解
  • a和b的算术平均数是  (a+b)/2
  • a和b的几何平均数 (a*b)^-2 或者说 √ab

4.2 第1：几何布分布的，各个项之间，就是等比数据，公比为 (1-p )

  • 几何分布  P(ξ=k)=(1-p)^(k-1) *p
  • p*(1-p)，p*(1-p)^2  ，p*(1-p)^3
  • 公比都是 (1-p)

4.3 第2：几何布分布每个中间的项，都是前后两个数的几何平均数，因此得名

  • 几何布分布的，每个中间的项，都是前后两个数的几何平均数
  • 因此叫做 几何分布
  • p*(1-p)，p*(1-p)^2  ，p*(1-p)^3
  • p*(1-p)*p*(1-p)^3 =p^2*(1-p)^4 =  (p*(1-p)^2 )^2

5 几何分布的期望

  • 一般意义的几何分布所说的期望，默认是指，几何期望的定义：伯努利试验，最后一次成功，成功次数n对应的随机变量的期望。
  • 而实际上，也可以在二项分布下其他随机变量的数学期望，比如，失败次数m (m=n-1)的数学期望，
  • 这个期望显然和n的数学期望是不同的！

5.1 几何分布变量 n的期望

  • 如果我们定义的随机变量是 n
  • n 表示n次伯努利试验，最后1次成功
  • 成功概率为p
  • 那么，n的数学期望 E(n) =1/p
前提不变，都是成功概率为p
考察n ，第n次成功 　 求期望  E(n) = limξ 乘积
总次数 n次数取值 概率 乘积=期望展开项
　 随机变量n E(n)=1/P
1 1 p 1*p
2 2 (1-p)*p 2*(1-p)*p
3 3 (1-p)^2*p 3*(1-p)^2*p
… … … …
n n (1-p)^(n-1)*p n*(1-p)^(n-1)*p
  • 下面是推导过程

5.2 几何分布，其中失败次数 m的期望

  • 如果我们定义的随机变量是 n
  • n 表示n次伯努利试验，最后1次成功，那么失败次数为m , m=n-1
  • 成功概率为p ，失败概率是1-p
  • 那么， 失败次数m的数学期望 E(m) =(1-p)/p
前提不变，都是成功概率为p
考察m=n-1 失败的总次数 求期望  E(n) = limξ 乘积
总次数 m=次数取值 概率 乘积=期望展开项
　 随机变量m E(m)=(1-P)/P
1 0 (1-p)^0*1 0*(1-p)^0*1
2 1 (1-p)^1*p 1*(1-p)^1*p
3 2 (1-p)^2*p 2*(1-p)^2*p
4 3 (1-p)^3*p 3*(1-p)^3*p
… … … …
n n-1 (1-p)^(n-1)*p n-1*(1-p)^(n-1)*p
　 　 　 　
  • 下面是推导过程

6 几何分布的方差

几何分布的方差，第n次成功，n的方差为 (1-p)/p^2

推导过程暂缺

7 几何分布的概率分布：分布率，分布函数，分布图

  • 默认集合分布的随机变量，都是指最后一次成功的次数n 所对应的随机变量
  • 如果要求几何分布的失败次数m (m=n-1) 一般需要单独指明

7.1 几何分布的分布律

  • 几何分布的概率分布率是
  • 可以如下表格表示

7.2 几何分布的概率分布函数

  • 因为这个有通项
  • 所以概率分布函数比较简洁
  • p(n) = p*(1-p)^(n-1)

7.3 几何分布的概率分布图形

  • pdf
  • cdf

 百度百科，几何分布的图形有这么多。。。还需要了解

8 几何分布的 期望的图形（一般很少画期望的图形）

  • 几何分布的期望公式
  • E(n)= n*p*(1-p)^(n-1)
  • 可见，几何分布，当概率p 越小，总期望最后1次成功的概率，则n会越大
  • 比如概率 0.8的时候，期望1.25次就可以成功
  • 而概率为0.2的时候，期望5次才可以成功
  • 符合直觉
  • 另外，其实假设试验次数无限次，期望次数= 1/P , 符合这样的规律？

  • 下图
  • 左1是，期望的每个项的数值的图示
  • 左2是，累计的前面部分 期望项的和，逐渐接近整体的期望 ，模拟近似 期望E(n)

9  超几何分布，另外开一篇来写吧

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