概率论的学习整理1： 集合和事件，以及概率是什么？
目录
为什么最近开始重新学习数学
1 集合 set
1.1 集合的基础概念
1.2 韦恩图，文氏图
1.3 韦恩图很有用
1.4 基本的集合关系
2 实验和事件
2.1 先贴下本地的笔记图
2.2 重要概念
2.2.1 事件 event
2.2.2 事件集 events
2.2.3 互斥事件: 交集为0 P(A∩B)=P(AB)=0
2.2.4 对立事件（ 对立事件是互斥事件的一个特例）
2.2.5 独立事件 : 互不影响 P(AB) = P(A)P(B）
2.2.6 互斥事件和独立事件的关系
3 概率是什么？ 对概率和事件的重新理解
3.1 概率是一种对世界的简化模型
3.2 比概率前置的重要事情，是弄清楚，我们要分析的“目标事件”
3.3 然后才是 抽象的概率学的各种理论
3.4 概率与面积，韦恩图（文氏图）
3.5 概率各种求法
4 关于概率，与先验后验等
5 对随机实验和事件的理解
5.1 随机实验
5.2 事件
6 《测度论》
7 如何理解 实验/目标事件 实际上是符合的，就是生活中的某一方面
7.1 单一维度的事件
7.2 复杂事件
8 辨析，独立事件 和 互斥事件 （写的太错了）
8.1 概念辨析
8.2 两个独立事件，是否互斥？ 一定不互斥
8.3 两个互斥事件，是否独立？ 互斥事件一定不独立
9 概率的加法和乘法原理
9.1 加法法则应用于并列关系的事件
9.2 乘法法则应用于不相干关系的事件
10 一些概率例题
10.1 相比于国外教材
10.2 例题1
10.3 例题2
10.4 例题3
10.4 例题4
为什么最近开始重新学习数学
有用，有用，还是有用！
写在最前面的话
- 整理数学，是因为工作涉及到了，也是编程需要用到。所以我重新学了一段时间了，多年未学习了，几乎是从头开始了。
- 关于写笔记，如果不自己写，感觉学了也会忘记，另外本地文档确实很没用，还是写网上文档把，CSDN的各种评价体系，我不care，我只是记个学习笔记。如果能尽量写的让初学者也能看懂，那就更好了。
- 最近又重新学习了下数学，重新修改补充下这段内容
关于我学习概率论的几个事情
- 我觉得学概率，肯定不能是为了做题，也不能靠做题。但是如果能把生活工作中遇到的问题都能从数学的角度去看，能去分析，并且解决，那真的太好了。
- 如果问是问了什么？是为了解决问题，另外，希望孩子学概率论的时候能给孩子讲明白
- 学习的小目标呢？
- 弄清楚原理
- 理清楚知识体系，用脑图整理下。我觉得不能遇到概率提就想起各种公式，套公式，而是应该有个思路，能用树状图或者2维表展开，展开思考才行，后面的都应该是顺水推舟的事情。
- 整理一下不同的解题思路，以后遇到类似问题提高效率
1 集合 set
1.1 集合的基础概念
1.2 韦恩图，文氏图
1.3 韦恩图很有用
比如全概率公式
- P(B)=P(A) *P(B|A) + P(A')*P(B|A')
- 很多人觉得并不好理解
- 用下面这个图来理解全概率公式呢，很简单
- RGB原理，红色和黄色，合成橙色！
- 可以看到B集合是AB 和 A-*B这两部分组合成的！这两个部分又刚好是2个交集！展开即可得到全概率公式！
- P(B)=P(AB) + P(BA')
- 黄色 橙色
- P(B)=P(A∩B) + P(B∩A')
- P(B)=P(B|A) *P(A)+ P(B|A') *P(A')
1.4 基本的集合关系
- 和事件
- P(AUB)= P(A) + P(B) -P(A∩B)
2 实验和事件
2.1 先贴下本地的笔记图
2.2 重要概念
2.2.1 事件 event
- 事件是对 样本点的提炼
- 基本事件是去重的
- 事件是通过不同视角，对所有样本点进行的归类，聚合，提炼
- 比如有时候可以按月统计，有时候按日统计
- 可以统计次数，可以只管某一次等等
- 一个实验里可以定义出很多不同的事件
- 比如做10次硬币实验，求最后一次为正面的概率
- 做10次硬币实验，求出现正面的概率
- 做10次硬币实验，求出现正面3次的概率
- 做10次硬币实验，求出现正面3次背面2次的概率
- 。。。
- 求1年中每天下雨的概率
- 求1年中每个月下雨的天数期望
2.2.2 事件集 events
- 因为样本空间的子集有很多很多
- 事件集是一类有相同特点的事件的集合
- 比如10次硬币实现，出现3次证明的事件集，可以拆解成，第1次出现证明，第2次出现正面，等等。。。。
2.2.3 互斥事件: 交集为0 P(A∩B)=P(AB)=0
- 简单的说，就是，互斥事件A和B，永远不会同时发生
- 也就意味着，互斥事件A和B，之间存在关系（不同时发生）因此是不独立的
- A和B，同时发生的概率为0
- A和B，两个集合，永远没用交集部分！
- P(A∩B)=0
- 联合概率为0, P(AB)=0
- 条件概率为0，P(A|B)=P(B|A)=0
- A和B互斥，一定不独立
2.2.4 对立事件（ 对立事件是互斥事件的一个特例）
- 对立就是，有你没我
- 整个样本空间，样本划分只有这2个事件，那这2个事件就是独立事件，否则不是
- 比如可以划分为3个事件，那这3个事件就不对立
2.2.5 独立事件 : 互不影响 P(AB) = P(A)P(B）
- 是否可以从坐标系投影角度思考？：独立一定不互斥，而是相容的，是可以投影交叉的
- 事件之间相互独立，并不意味着交集为0，而是意味着互不影响。
- 而意味着，两个集合A和B的交集，可以直接转为两者本身相乘
- P(AB)= P(A)P(B）联合概率等于两者相乘，可以同时发生，同时发生概率=两者自身概率乘积，不互相影响
- P(A | B)=P(A)
- P(B | A)=P(B)
- P(AB)=P(A∩B)=P(A)P(B | A) = P(A)P(B）
- P(AB)=P(A∩B)=P(B)P(A | B) = P(A)P(B）
- P(AB) = P(A)P(B）
2.2.6 互斥事件和独立事件的关系
- 不考虑p(A) =0， p(B) = 0的特殊情况，意义不大
- 如果 p(A)>0 , p(B)>0
- 那么
- 如果A和B互斥，那么：p(AB)=0
- 如果A和B独立，那么：p(AB)=p(A)*p(B)>0
- 因此，互斥必然不独立，而独立必然不互斥（是相容的）
以下内容仅为个人感觉和总结，先整理在这，之后需要再思考整理
3 概率是什么？ 对概率和事件的重新理解
3.1 概率是一种对世界的简化模型
- 不看这个事件本身的影响大小。
- 世界很复杂，对世界的解读和抽象有很多种思路
- 有的是哲学，比如什么实体，精神这种抽象。
- 但是也有概率这个思考，这个角度，这个层面，把所有事务都抽象为1个最小单位---事件，就是只关心事务有没有发生，发生概率多少，而不关心事务内部
- 概率简化这个世界的角度，是否可以这么解释？可以认为事件就是一根棍子 I，这个棍子内有什么不关心了，棍子和其他棍子的联系只剩下一种，就是发生不发生，谁发生的概率大，这个有点像二进制抽象为01，是/否，或者周易那种抽象。其他信息通通丢弃掉不再关心。
3.2 比概率前置的重要事情，是弄清楚，我们要分析的“目标事件”
- （1）概率是对世界的一种简化
- （2） 要理解概率，先搞清楚是对什么目标事件（不同事件的关系差别很大）的概率，其实目标事件，就是我们现实世界需要解决的问题。分析概率之前，先需要把这个事情本身分析清楚，逻辑条理清晰才行。
- （3）然后再应用概率的一般理论
3.3 然后才是 抽象的概率学的各种理论
3.4 概率与面积，韦恩图（文氏图）
韦恩图
样本空间=所有事件发生的集合（去重?）
样本空间 ={事件A1，事件A2，......} ={事件B1，事件B2，......} 不同维度的划分
概率
P（A1) = 面积比 = A占的面积 / 样本空间100%面积
正确的， p= 事件数/ 总事件数
错误的： p = p(A) / p()
3.5 概率各种求法
- 1 排列组合，找出基本事件数，样本空间等，
- 然后 p= 事件包含的基本事件数/样本空间的基本事件数
- 错误 ，抽中特殊事件的概率/ 抽中任意一个的概率
- 2 概率公式方法
- 3 全概率公式，条件概率公式，等等
- 4 概率的乘法原理和加法原理
4 关于概率，与先验后验等
- 概率论是先验的，从假设我们知道概率开始去进行演绎推理。
- 先验的逻辑更简洁，更适合理解？人脑适合先验的演绎推理？
- 数理统计是后验的，统计的。用多次实验得到的数据进行归纳推理。
概率的最初来源，我觉得应该是来自于 统计，频次统计
频次不等于概率，但是可以用来估计概率？比如极大似然估计估计等？
1（后验的，统计的）频次 = 某事件发生次数/ 所有相关事件的发生次数总数，后验的统计的东西最重要的是总结规律，期待这个规则能指导以后的生活---其实就是预测，也就是 所谓的 经验指导未来。
2预测的理论模型，这个是需要的
（模型，理论分析）概率= 基础事件个数/总事件个数
3（先验的，用于预测）概率的= 事件发生的可能性/ 全部可能性100%=p ，有了先验的概率，则方便去演绎，推理等等，这么一套思考模型
4 信息进一步增加，（用新信息去修正老的概率）贝叶斯概率
条件概率公式： p(B|A) = p(AB) / p(A)
bayes概率公式： p(B|A) = p(B)* p(A/ B) / p(A), 其中p(B)是老概率，而p(B|A)是修正后的概率。
5 对随机实验和事件的理解
5.1 随机实验
- 随机实验，只能是1次，或者多次
- 如果是多个随机实验，那么这2个随机实验没关系
- 实验不存在什么基础不基础，不再可以拆分，只有次数的差别
- 很多一次实验，其实都是包含了多个维度的一次实验。
- 比如有1个实验是，今天下雨/不下雨，
- 另外1个实验是，今天下雨/不下雨 & 堵车/不堵车
5.2 事件
- 基本事件:就是针对某一个“目标事件”不可再分的最小事件？ / 一些不可再分的结果
- 事件（目标事件）=一些结果 = 一些结果组成的集合
- 事件空间: （全部是相对的）全部基础事件组成的空间 / 全部结果 =全部结果组成的集合，不同情况下的全部空间是不一样的，某些概率对应的全部空间是全部，某系概率对应的全部空间只是其中一部分
- 对分母的理解很重要，事件空间是相对的，
- 比如 p(A)=p(AB)/p(B) ，样本空间是 A,B所在的全部空间Ω（=A+B+...）
p(A|B)=p(AB)/p(B) ，样本空间就是B
6 《测度论》
据说《测度论》更能说明和理解概率，需要以后学习
- 下面这个图是转载的，不是我画的
定义概率，需要定义为 p(Ω，F，p)
其中Ω是样本空间（但是需要是是定义再哪儿的样本空间，即使是等可能的样本空间也可能又不同的标准，并不一样），Ω里是独立的基础事件
F 是Ω的所有各种子集的 集合，而我们平时讨论某个变量的概率期望等只会取其中一个子集，并且子集的取法不同，最终计算的概率也会不同。
https://blog.csdn.net/xuemanqianshan/article/details/126328497?spm=1001.2014.3001.5501
7 如何理解 实验/目标事件 实际上是符合的，就是生活中的某一方面
7.1 单一维度的事件
- 比如明天是不是下雨？
- 只有2种结果，样本空间 Ω={下雨，不下雨}
7.2 复杂事件
下雨和堵车，独立事件，不互斥（现有知识条件下）可能同时发生
下雨和世界大战，独立事件，
下雨和摆摊，非独立事件，但是互斥？
复杂事件往往多有多个事件构成的，这个往往跟我们人类提出的问题相关
目标问题是复杂的 = = 样本空间复杂
- 比如 下雨，堵车，这本身可以说是2个独立事件
- 如果我们想要知道 p(明天下雨 & 堵车) =1/4
- 可以做成下图的4方格（交叉图）来理解
|
下雨 50% |
不下雨 50% |
|
|
堵车 50% |
下雨&堵车 |
不下雨&堵车 |
|
不堵车 50% |
下雨&不堵车 |
不下雨&不堵车 |
用图可以这么表示，这个过程
8 辨析，独立事件 和 互斥事件 （写的太错了）
8.1 概念辨析
- 事件独立（互不影响），两个事件，1个事件对另外一个事件的结果无影响
- 事件互斥（不相容）， 两个事件不可能同时发生
- 对立事件是互斥事件的子集，这里不讨论了
- 比如一个人群
- 单维度划分
- 按性别区分，要么是男，女，这个就是互斥事件（独立事件）
- 按年龄区分，可以细到每1岁划分为1个区间，也可以10岁划分为1个区间
- 按国家区分，可以每个国家划分为一个类型
互斥的例子
一个指标内，比如性别里的男女是互斥的，比如年龄里的19和20，21等就都是互斥的
不可再分（很难再分）的划分维度下的属性下的不同分类
独立的例子
而性别，年龄，国家。这些不同维度里拿出的变量，就是独立的变量
复合维度划分
- 1 是中国男孩的概率是多少？
- 2 是30岁女性的概率多少
- 等等
所以，从上面的例子看
- 1 互斥事件，看起来一定是一个不可再分（很难再分）的划分维度下的属性下的不同分类，比如性别，年龄等
- 2独立事件，性别 & 年龄 & 国籍，考虑目标事件时需要结合考虑，计算时可以拆分考虑
- 比如要考虑 30岁女性，那么就需要结合起来考虑，但是计算时可以拆分
- 但是，显示结果时需要，结合考虑
- p(30岁 & 女性)= p(30岁) * p(女性)
8.2 两个独立事件，是否互斥？ 一定不互斥
- 如果2个事件独立，也就是存在一般意义的2个维度（属性维度）的事件，
- 那么是否互斥，是不确定的
- 比如，1个30岁人类，可能 是男性，或者是女性
- 抽象30岁人类这个属性，本身不会和 性别 互斥，他们是独立的
- 但是任一个 具有 30岁属性的人类这个实验结果，可能是男性，也可能是女性
- 相互独立事件同时发生的概率P(AB) = P(A) *P(B)
- P(B|A)=P(B)
- 也就是独立事件的交集可能=0，也可能不=0
8.3 两个互斥事件，是否独立？ 互斥事件一定不独立
- 互斥的2个事件，一般就是指同一个（最小不可再分）属性维度下的2个事件
- 互斥意味着，这2种事件结果不能同时发生，2个事件的交集=0
- 互斥事件，一定不独立
- 因为互斥事件，1个事件（结果）发生了，另外一个事件（结果）一定不发生，这2个事件是互相影响的，并且是不能同时存在的这种影响。
互斥的事件互相没有交集，计算概率时一般是相加，加法原则
9 概率的加法和乘法原理
9.1 加法法则应用于并列关系的事件
概率加法，一般是用在独立事件概率
概率加法，对应加法原理
比如完成一件事有很多方法，每个方法都可以独立完成，完成这件事的概率 = 每种方法概率 累加
9.2 乘法法则应用于不相干关系的事件
- 概率乘法，一般是用在条件概率
- 概率乘法，对应乘法原理
- 比如完成一件事有很多步骤，每个方步骤都有一定概率，完成这件事的概率 = 每个步骤概率的累乘
10 一些概率例题
10.1 相比于国外教材
千万别相信什么同济教材，浙大教材，懂得都懂
10.2 例题1
红黄蓝三种颜色的小球各10个，每种颜色小球上分别从0到9标上数字。随机抽球。抽到红色偶数数字的球的概率是多少？
- 用加法原理，一共五个球，抽到每个的概率1/30，五个1/30相加得1/6
- 用乘法原理，抽到红色球概率10/30，其中抽到偶数数字概率5/10，相乘得1/6
10.3 例题2
一共有五张卡a、b、c、d、e，抽一次，抽中卡a或b或c或d就算中奖，那么中奖的概率应当是0.8，抽中a的概率为0.2。
- 事件算法: 4/5
- 加法原则：中奖概率1/5+1/5+1/5+1/5=4/5
- 乘法原则：就一个步骤，第一个步骤中奖概率=4/5
10.4 例题3
https://www.zhihu.com/question/381514613/answer/1270736936
- 分析显示世界的事情本身
- （1）立方体，1个变27个，表面涂色，内部全部无色
- （2）分为 3种立方体，8个角，有3面颜色，12个棱的小面，有2面颜色，6个中心面1面颜色，1个纯内部1个颜色都没有
- （3）第1次抽到1个面的概率 6/27
- 第2次抽到1个>=2面的概率 （12+8）/ 27
- 这个特定的组合事件概率 = 6 /27 * (12+8)/27
10.4 例题4
https://zhidao.baidu.com/question/332991559.html?qbl=relate_question_2
现在4张奖券,其中只有一张有奖,4位同学不放回地抽取,若已知第一位同学抽后未中奖,则第三位同学也抽不到中奖奖券的概率答案2/3
P=1/4
第1人已经抽奖，且没中，样本空间等都变化了
用条件概率怎么表示？？？
p=1/3 整体看
第2人抽奖，1/3中奖, 2/3不中奖
第3人抽奖，1/3中奖, 2/3不中奖
第4人抽奖，1/3中奖, 2/3不中奖
概率论的学习整理1： 集合和事件，以及概率是什么？相关推荐
- 概率论的学习整理5：贝叶斯（bayes）法则和贝叶斯概率
1 贝叶斯(bayes)概率的思考过程 我觉得,bayes公式需要先理解条件概率,全概率公式才行 纯从bayes公式的角度,其实是从 条件概率P(B | A) 开始,推导到联合概率P(AB) / P( ...
- 概率论的学习整理--番外1：可重复且无次序的计数公式C(n+k-1,k) 的例题 ： 同时丢3个骰子，会有多少种情况？答案不是216而是56！
总结:题目理解 同时丢3个骰子,3个骰子同时丢,其结果是不能分辨出骰子的次序的,这样可能的情况是6*6*6=216 所以也可以等价视为,丢1个骰子,实验3次,但是这样的实验可以记录次序,所以要去掉排序 ...
- 概率论学习二、样本空间与事件
本文学习资源来自<概率论基本(李贤平)> 一.样本空间 为了研究随机试验,首先需要知道这个试验可能出现的结果.这些结果称为样本点,一般用 ω ω \omega表示.样本点全体构成样本空间( ...
- 概率论得学习和整理6：概率的分布
多种概念其实是一样的 这几个概念说的是一回事 概率模型 分布 变量 比如 01分布,几何分布,二项分布,超几何分布,泊松分布,正态分布等 01概率模型,几何概率模型,二项概率模型,超几何概率模型,泊松 ...
- 概率论的学习和整理--番外7：简单的丢骰子 和 抽黑球白球问题，对比不同概率模型求解的差别。
前言:通过题目去理解概率知识 刷题的意义 虽然说刷题不好,但是不会做题肯定也不对 理论学了一箩筐,但是不会做题,说明不会应用模型,对模型的条件,应用环境,背后的逻辑理解的不深 刷题的局限性 不要记这个 ...
- HTML CSS 学习整理
HTML CSS 学习整理 码字不易,转载请务必注明原文出处.常用单位整理,不断学习,后期的新增笔记会继续加到文章上方 点击链接后退页面: 回到上一个网页 这是一个简单的跳转页面操作 --修改plac ...
- Elastic Nodes Example 翻译及学习整理
文章目录 Elastic Nodes Example 翻译及学习整理 题记: 简介: Node Class Definition Edge Class Definition GraphWidget C ...
- Vue-Cli 学习整理【转载】
Vue-Cli 学习整理 坚果 程序猿/艺术 关注他 21 人赞同了该文章 1. vue-cli(vue脚手架)全集 1.1. vue-cli2脚手架 1.1.1. nodejs/npm环境安装 1 ...
- Wix学习整理（2）——HelloWorld安装添加UI
在前一篇随笔Wix学习整理(1)--快速入门HelloWorld中,我们制作的安装包安装界面太简单,没有与用户进行交互的过程.下面我们修改Wix源文件来给安装程序添加UI. 1 Wix的预定义UI简介 ...
最新文章
- wdcp 安装php_zip扩展
- 中专计算机技术难吗,中专学计算机专业难不难？
- 【用户行为即时分析查询】 数据仓库实现 案例分享
- python爬网盘数据犯法吗_python爬取疫情数据的源码
- 将网站SSL Server Certificate导入ABAP系统，证书Subject中文字符被转义引起的问题
- Hadoop Hive概念学习系列之hive的正则表达式初步（六）
- Delphi XE中String、ANSIString、TBytes之间的转换
- 数据库版本自带的mysql replication双机主从备份安装配置
- 图像直方图及直方图均衡总结（一）经典方法（附matlab和opencv端算法实现）
- word模板中替换文本中自定义字符串生成月报
- GraphEmbedding - Node2vec 图文详解
- win7+VS2008安装boost
- lumion实例渲染6.2
- Kamailio nats模块编译
- （附源码）计算机毕业设计SSM建筑工程管理系统
- Android实现控制第三方音乐播放器暂停/播放
- JQuery Smart UI 简介（四） — 强大的适用性存在问题【项目使用性介绍】
- 20175208 实验二 《Java面向对象程序设计》实验报告
- 如何设计一个风控实验？以度小满风控实验平台架构设计为例
- SpringBoot配置文件数据库密码加密