01背包问题动态规划（二维数组）

问题描述

一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,Cn，求旅行者能获得最大总价值。

输入格式

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；

第2…N+1行：每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。

输出格式

仅一行，一个数，表示最大总价值。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>int main()
{int M, N; // M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；std::cin >> M >> N;int dp[N + 1][M + 1];// dp数组初始化全部 0;for (int i = 0; i < N + 1; i++)for (int j = 0; j < M + 1; j++)dp[i][j] = 0;int Wi[N + 1] = {0};int Ci[N + 1] = {0};memset(Wi, 0, sizeof(Wi));memset(Ci, 0, sizeof(Ci));for (int i = 1; i < N + 1; i++){std::cin >> Wi[i] >> Ci[i];}/* for (int i = 0; i < N + 1; i++){std::cout << Wi[i] << Ci[i] << std::endl;} */for(int i=1; i<N+1; i++){for(int j=1; j<M+1; j++){if(j >= Wi[i]) // 如果可以装下{dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]]+Ci[i]);}else // 装不下{dp[i][j] = dp[i-1][j];}}}for(int i=0; i<N+1; i++){for(int j=0; j<M+1; j++){std::cout << dp[i][j] << " ";}std::cout << std::endl;}std::cout << dp[N][M] ;return 0;
}

总结

1.构造二维dp数组 `dp[N+1][M+1]`,N是物品编号，M是背包重量。

2.边界`dp[0][M+1]` `dp[N+1][0]`全部初始化为`0`；

3.背包重量优先遍历（先从左到右，然后上到下）

for(int i=1; i<N+1; i++){for(int j=1; j<M+1; j++){if(j >= Wi[i]) // 如果可以装下{dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]]+Ci[i]);}else // 装不下{dp[i][j] = dp[i-1][j];}}}

4.遍历有两种情况

if(j >= Wi[i]) // 如果可以装下
{
dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]]+Ci[i]);
}
else // 装不下
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}

如果装不下当前物品：

那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。

dp[i][j] = dp[i-1][j];

如果装得下当前物品：

假设1:装当前物品，在给当前物品预留了相应空间的情况下，前n-1个物品的最佳组合加上当前物品的价值就是总价值。
假设2:不装当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。
选取假设1和假设2中较大的价值，为当前最佳组合的价值。

dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]]+Ci[i]);

4.最后`dp[N][M]`就是问题的答案

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1.构造二维dp数组 `dp[N+1][M+1]`,N是物品编号，M是背包重量。

2.边界`dp[0][M+1]` `dp[N+1][0]`全部初始化为`0`；

3.背包重量优先遍历（先从左到右，然后上到下）

4.遍历有两种情况

如果装不下当前物品：

如果装得下当前物品：

4.最后`dp[N][M]`就是问题的答案

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2.边界dp[0][M+1] dp[N+1][0]全部初始化为0；

3.背包重量优先遍历（先从左到右，然后上到下）

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