【SHOI2010】最小生成树（最小割，最小生成树）

初看题目，发现题目的操作比较复杂。仔细想了一想，发现题目中的操作“把图中除了这条边以外的边，每一条的权值都减少 1 1 1”就等价于“把这条边的权值加 1 1 1”。所以题目的操作就被我们化繁为简了。

然后继续想：如何才能使 L a b Lab Lab 边一定在最小生成树中？

画个图看一下（就以样例为例）：

假设现在 L a b Lab Lab 边是 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)，长度为 2 2 2。

那么既然我要保证 L a b Lab Lab 边是最小生成树的一条边，点 1 1 1、 2 2 2 就不能在一个环里面，也就是说，点 1 1 1、 2 2 2 之间不能存在另一条可选的路径。（注意“边”与“路径”的区别）

也就是说，在原来的无向图上， 1 → 2 1\rightarrow2 1→2 的其他路径中，每条路径至少要存在一条边的边权大于 2 2 2，否则在建最小生成树时就有可能被选到。

比如 1 → 2 1\rightarrow2 1→2 的其他路径有 1 → 3 → 2 1\rightarrow3\rightarrow2 1→3→2、 1 → 4 → 2 1\rightarrow4\rightarrow2 1→4→2 ……，其中路径 1 → 3 → 2 1\rightarrow3\rightarrow2 1→3→2 是不满足条件的，因为这条路径上没有一条边的边权大于 2 2 2，那么我们就有可能选边：

而不是这样：

总而言之，设 L a b Lab Lab 边是 ( A , B ) (A,B) (A,B)，长度为 l e n len len，那么我们要保证在操作之后的无向图上，不存在一条路径 A → B A\rightarrow B A→B 使得这条路径上所有边的边权都小于等于 l e n len len。

如何维护？

一种显然的暴力就是：枚举 A → B A\rightarrow B A→B 的每一条路径，找到路径上边权的最大值 m a x n maxn maxn，如果 m a x n > l e n maxn>len maxn>len，就不管它，否则就用 l e n − m a x n + 1 len-maxn+1 len−maxn+1 次操作使得这条边权最大的边的权值加上 l e n − m a x n + 1 len-maxn+1 len−maxn+1，超过 l e n len len。这时我们就能用最小的代价保证这条路径不可能被选到。

想到这里很容易想到最小割：找到边权 l e n 0 len_0 len0 小于等于 l e n len len 的每条边 ( u , v ) (u,v) (u,v)，并在另一个图上建边 ( u , v , l e n − l e n 0 + 1 ) (u,v,len-len_0+1) (u,v,len−len0+1)，然后再从 A A A 到 B B B 跑最小割，也就是说找到 A → B A\rightarrow B A→B 每条路径上操作代价最小的一条边。最后跑出来的最小割就是答案。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>#define N 510
#define M 810
#define INF 0x7fffffffusing namespace std;struct edge
{int u,v,w;
}e[M];int n,m,lab,s,t;
int cnt=1,head[N],cur[N],to[M<<2],nxt[M<<2],c[M<<2];
int num[N];queue<int>q;void adde(int u,int v,int ci)
{to[++cnt]=v;c[cnt]=ci;nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;to[++cnt]=u;c[cnt]=0;nxt[cnt]=head[v];head[v]=cnt;
}bool bfs()
{memcpy(cur,head,sizeof(cur));memset(num,-1,sizeof(num));q.push(s);num[s]=0;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){int v=to[i];if(c[i]&&num[v]==-1){num[v]=num[u]+1;q.push(v);}}}return num[t]!=-1;
}int dfs(int u,int minflow)
{if(!minflow||u==t) return minflow;int preflow=0,nowflow;for(int i=cur[u];i;i=nxt[i]){cur[u]=i;int v=to[i];if(num[v]==num[u]+1&&(nowflow=dfs(v,min(minflow-preflow,c[i])))){preflow+=nowflow;c[i]-=nowflow;c[i^1]+=nowflow;if(!(minflow-preflow)) break;}}return preflow;
}int dinic()
{int maxflow=0;while(bfs())maxflow+=dfs(s,INF);return maxflow;
}int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&m,&lab);for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);s=e[lab].u,t=e[lab].v;for(int i=1;i<=m;i++){if(i!=lab&&e[i].w<=e[lab].w){adde(e[i].u,e[i].v,e[lab].w-e[i].w+1);//别问我为什么要建双向边，问就是这是dinic，分层图不怕死循环adde(e[i].v,e[i].u,e[lab].w-e[i].w+1);}}printf("%d\n",dinic());return 0;
}

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