[学习笔记]最小割之最小点权覆盖最大点权独立集

2024-06-05 02:29:49

最小点权覆盖

给出一个二分图，每个点有一个非负点权

要求选出一些点构成一个覆盖，问点权最小是多少

建模：

S到左部点，容量为点权

右部点到T，容量为点权

左部点到右部点的边，容量inf

求最小割即可。

证明：

每一个割集，对应选择一些点，对应一个覆盖。

每个覆盖有不同的代价，选择最小的就是最小点覆盖

每个割集有不同的代价，选择最小的就是最小割

由于割集和覆盖一一对应

所以，这个新图的最小割，就对应原图的最小点覆盖。

最大点权独立集

给出一个二分图，每个点有一个非负点权

要求选出一些点构成一个独立集，问点权最大是多少

建模：

等于：总权值-最小点权覆盖

证明：

扔掉覆盖的点的剩余点一定是一个独立集

而且，根据覆盖=点数-独立集

对于一个固定的点覆盖，独立集已经不能更大。

所以，一个固定的点覆盖下，最大独立集是确定的。两者呈现一一对应的关系。

而总权值不变，所以选择扔掉的覆盖集总权值最小即可。

所以，最大点权独立集=总权值-最小点权覆盖

例题：

方格取数问题

在一个有m*n 个方格的棋盘中

每个方格中有一个正整数

现要从方格中取数，使任意2 个数所在方格没有公共边

求取出的数的总和最大是多少。

题解：

将棋盘国际象棋黑白染色

然后连边

然后最大点权独立集即可。

转载于:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10026402.html

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