「题解」USACO15FEB Fencing the Herd G

本文将同步发布于：

洛谷博客；
csdn；
博客园；
简书；

题目

题目链接：洛谷 P3122、USACO 官网。

题意概述

给你平面上的一些点和直线，有两种操作：

新加入一个点 (x,y)(x,y)(x,y)；
给定一条直线 ax+by=cax+by=cax+by=c，询问是否所有点都在这条直线的同侧（在直线上不合法）。

初始时有 n≤105n\leq 10^5n≤105 个点，共有 q≤105q\leq 10^5q≤105 次操作。

题解

对题意转化

我们考虑将 所有点都在直线的同一侧 这一条件进行转化。

具体地，我们先考虑一个简单的子问题。

简单子问题

问题是这样的，对于一条标准形式的直线 ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0，在它同侧的点 (xp,yp)(x_p,y_p)(xp,yp) 满足什么性质？

我们倒推并分类讨论：

若 axp+byp+c=0ax_p+by_p+c=0axp+byp+c=0，显然点 (xp,yp)(x_p,y_p)(xp,yp) 在这条直线上；
若 axp+byp+c<0ax_p+by_p+c<0axp+byp+c<0，显然它与所有点 qqq 满足 axq+byq+c<0ax_q+by_q+c<0axq+byq+c<0 在直线的同侧；
若 axp+byp+c>0ax_p+by_p+c>0axp+byp+c>0，显然它与所有点 qqq 满足 axq+byq+c>0ax_q+by_q+c>0axq+byq+c>0 在直线的同侧；

因此我们发现，如果两个点在一条直线的同侧，则将两点坐标代入直线方程得到的结果同号。

解决了子问题，我们对题意进行转化，得到如下式子。

一条直线合法当且仅当

∀p∈S,sgn⁡(axp+byp−c)=sgn⁡(axq+byq−c)\forall p\in S,\operatorname{sgn}(ax_p+by_p-c)=\operatorname{sgn}(ax_q+by_q-c)∀p∈S,sgn(axp+byp−c)=sgn(axq+byq−c)

意思就是所有点对应的符号相同（暂时不考虑点在直线上）。

进一步地，一堆数同号说明它们的最大值与最小值同号。

问题转变成为，给定一条直线 ax+by−c=0ax+by-c=0ax+by−c=0，求

max⁡p∈S{axp+byp−c}\max_{p\in S}\{ax_p+by_p-c\}p∈Smax{axp+byp−c}
min⁡p∈S{axp+byp−c}\min_{p\in S}\{ax_p+by_p-c\}p∈Smin{axp+byp−c}

利用几何性质解决问题

先来求解最大值吧。

设直线为 ax+by−c=maxax+by-c=\texttt{max}ax+by−c=max。

先将直线转化为斜截式：

y=−abx+c+sumby=-\frac{a}{b}x+\frac{c+\texttt{sum}}{b}y=−bax+bc+sum

我们发现：

若 b>0b>0b>0，我们只需要最大化该直线在 yyy 轴上的截距即可，维护一个上凸包，在上凸包上二分斜率求解即可；
若 b<0b<0b<0，我们则可以通过变号等方法修改成为 b>0b>0b>0 的情况；
若 b=0b=0b=0，我们发现此时的最大值必定在凸包的右端点取到，若用 max\texttt{max}max 值作为判据，则不受影响，无需考虑。

再来求解最小值，还是一样的步骤：

设直线为 ax+by−c=minax+by-c=\texttt{min}ax+by−c=min。

先将直线转化为斜截式：

y=−abx+c+minby=-\frac{a}{b}x+\frac{c+\texttt{min}}{b}y=−bax+bc+min

我们发现：

若 b>0b>0b>0，我们只需要最小化该直线在 yyy 轴上的截距即可，维护一个下凸包，在下凸包上二分斜率求解即可；
若 b<0b<0b<0，我们则可以通过变号等方法修改成为 b>0b>0b>0 的情况；
若 b=0b=0b=0，我们发现此时的最小值必定在凸包的右端点取到，若用 min\texttt{min}min 值作为判据，则不受影响，无需考虑。

分治方法优化转移

上述方法需要动态维护两个凸包，并且凸包的横坐标不具有单调性，这需要用平衡树来维护。

考虑到本题并不强制在线，我们考虑离线下来，利用 cdq 分治来维护凸包，时间复杂度为 Θ(nlog⁡2n)\Theta(n\log^2n)Θ(nlog2n)（视作 n,qn,qn,q 同阶）。

具体地，我们考虑对点和直线的加入时间进行分治，假设当前要处理区间 [l,r][l,r][l,r] 内的事件。我们就只要考虑区间 [l,mid][l,\texttt{mid}][l,mid] 内的点形成的凸包对区间 [mid+1,r][\texttt{mid}+1,r][mid+1,r] 内直线的贡献即可。

维护凸包所需时间复杂度为排序的 Θ(nlog⁡2n)\Theta(n\log_2n)Θ(nlog2n)，结合主定理分析可知最终时间复杂度为 Θ(nlog⁡22n)\Theta(n\log_2^2n)Θ(nlog22n)。

参考程序

更多细节参见参考程序。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;
inline int read(void){reg bool f=false;reg char ch=getchar();reg int res=0;while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();return f?-res:res;
}inline ll readll(void){reg bool f=false;reg char ch=getchar();reg ll res=0;while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();return f?-res:res;
}inline void writeln(const char* s){while(*s) putchar(*(s++));putchar('\n');return;
}inline ll max(reg ll a,reg ll b){return a>b?a:b;
}inline ll min(reg ll a,reg ll b){return a<b?a:b;
}struct Vector{int x,y;inline Vector(reg int x=0,reg int y=0):x(x),y(y){return;}inline Vector operator+(const Vector& a)const{return Vector(x+a.x,y+a.y);}inline Vector operator-(const Vector& a)const{return Vector(x-a.x,y-a.y);}
};inline ll dot(const Vector& a,const Vector& b){return 1ll*a.x*b.x+1ll*a.y*b.y;
}inline ll cross(const Vector& a,const Vector& b){return 1ll*a.x*b.y-1ll*a.y*b.x;
}typedef Vector Point;inline bool operator<(const Point& a,const Point& b){return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);
}const int MAXN=1e5+5;
const int MAXQ=1e5+5;
const ll inf=5e18;struct updates{int tim;Point p;
};struct querys{int tim;int A,B;ll C;ll Max,Min;
};int n,q;
int totu,totq;
updates up[MAXN+MAXQ];
querys qu[MAXQ];inline ll getVal(const querys& q,const Point& p){return 1ll*q.A*p.x+1ll*q.B*p.y-q.C;
}inline void solve(reg int l,reg int r,reg int lu,reg int ru,reg int lq,reg int rq){if(l==r)return;if(lu>ru||lq>rq)return;reg int mid=(l+r)>>1;reg int midu,midq;if(up[lu].tim<=mid){reg int __l=lu,__r=ru,__mid;while(__l<__r){__mid=(__l+__r)>>1;if(up[__mid+1].tim<=mid)__l=__mid+1;else__r=__mid;}midu=__l;}elsemidu=lu-1;if(qu[lq].tim<=mid){reg int __l=lq,__r=rq,__mid;while(__l<__r){__mid=(__l+__r)>>1;if(qu[__mid+1].tim<=mid)__l=__mid+1;else__r=__mid;}midq=__l;}elsemidq=lq-1;solve(l,mid,lu,midu,lq,midq);if(lu<=midu&&midq+1<=rq){reg int tot=0;static Point tmp[MAXN+MAXQ];for(reg int i=lu;i<=midu;++i)tmp[++tot]=up[i].p;sort(tmp+1,tmp+tot+1);reg int top;static Point S[MAXN+MAXQ];top=0;for(reg int i=1;i<=tot;++i){while(top>1&&cross(S[top]-S[top-1],tmp[i]-S[top-1])>=0)--top;S[++top]=tmp[i];}for(reg int i=midq+1;i<=rq;++i){reg int __l=1,__r=top,__mid;while(__l<__r){__mid=(__l+__r)>>1;if(getVal(qu[i],S[__mid])<getVal(qu[i],S[__mid+1]))__l=__mid+1;else__r=__mid;}qu[i].Max=max(qu[i].Max,getVal(qu[i],S[__l]));}top=0;for(reg int i=1;i<=tot;++i){while(top>1&&cross(S[top]-S[top-1],tmp[i]-S[top-1])<=0)--top;S[++top]=tmp[i];}for(reg int i=midq+1;i<=rq;++i){reg int __l=1,__r=top,__mid;while(__l<__r){__mid=(__l+__r)>>1;if(getVal(qu[i],S[__mid])>getVal(qu[i],S[__mid+1]))__l=__mid+1;else__r=__mid;}qu[i].Min=min(qu[i].Min,getVal(qu[i],S[__l]));}}solve(mid+1,r,midu+1,ru,midq+1,rq);return;
}int main(void){n=read(),q=read();for(reg int i=1;i<=n;++i){++totu;up[totu].tim=0,up[totu].p.x=read(),up[totu].p.y=read();}for(reg int i=1;i<=q;++i){static int opt;opt=read();switch(opt){case 1:{++totu;up[totu].tim=i,up[totu].p.x=read(),up[totu].p.y=read();break;}case 2:{++totq;qu[totq].tim=i,qu[totq].A=read(),qu[totq].B=read(),qu[totq].C=readll(),qu[totq].Max=-inf,qu[totq].Min=inf;if(qu[totq].B<0)qu[totq].A=-qu[totq].A,qu[totq].B=-qu[totq].B,qu[totq].C=-qu[totq].C;else if((!qu[totq].B)&&qu[totq].A<0)qu[totq].A=-qu[totq].A,qu[totq].C=-qu[totq].C;break;}}}solve(0,q,1,totu,1,totq);for(reg int i=1;i<=totq;++i)writeln((!qu[i].Max||!qu[i].Min||((qu[i].Max^qu[i].Min)>>63))?"NO":"YES");flush();return 0;
}