动态规划问题——换钱的最少货币数

题目：

给定数组arr，arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，在给定一个整数aim，代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。

示例：

arr = [5,2,3] , ami=20

4张5元的可以组成20，其他方案需要更多张货币，所以返回4。

arr = [3,5] ，aim=2

无法组成2，返回 -1

方法一：暴力递归

每一种面值都尝试不同的张数

对于 arr = [5,2,3]从0开始，就是

先用0张5元的，剩下20由面值2，3处理，

再用1张五元的，剩下15由面值2，3处理，

再用2张五元的，剩下10由面值2，3处理，

再用3张五元的，剩下5由面值2，3处理，

再用4张五元的，剩下0由面值2，3处理。

对于面值2，3 用同样的方式处理。

代码实现：

    public static int minCoinsl(int[] arr, int aim) {if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {return -1;}return process(arr,0,aim);}//arr=[5,2,3] aim=20, 4张五元//当前考虑的面值为arr[i] 还剩rest的钱需要找零public static int process(int[] arr, int i, int rest) {//i=arr.length的时候，数组中的面值都已经用过//如果当时剩余的钱rest是0，就返回0张//如果当时剩余的钱不是0，就返回-1if (i == arr.length) {return rest == 0 ? 0 : -1;}//初始化需要的货币数 num=-1int num = -1;//对于当前的面值，依次从0张，1张，2张..往下遍历，终止条件就是 张数*面值<=剩余钱数for (int k = 0; k * arr[i] <= rest; k++) {//使用了k张当前面值，剩余钱rest=rest-k*当前面值//然后剩余的钱交给后面的面值来处理int next = process(arr, i+1, rest-k*arr[i]);//如果剩下的钱经过后面的面值没有处理完，就返回 -1//next != -1 说明剩下的钱可以由后面的面值来处理if (next != -1) {//如果当前货币数为-1，就将货币数设置为 next+k，否则就设置为 当前货币数和next+k中更小的那个num = num == -1 ? next + k : Math.min(num, next+k);}}return num;}

方法二：暴力递归改动态规划

注意在代码中初始化的 dp 是N+1行 aim+1 列

因为会考虑到 i==arr.length时的这一行。rest属于[0，aim]，本身就是aim+1列

代码实现：

    public static int minCoins2(int[] arr, int aim) {if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {return -1;}int N = arr.length;int[][] dp = new int[N+1][aim+1];//设置最后一排的值，除dp[N][0]为0外，其他都是-1for (int col = 1; col <=aim; col++) {dp[N][col] = -1;}for (int i = N-1; i >= 0; i--) {//从下往上计算每一行for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {dp[i][rest] = -1;//开始时先设置 dp[i][rest]为无效if (dp[i+1][rest] != -1) {dp[i][rest] = dp[i+1][rest];//先设置成下面的值}//然后看他依赖的左边位置是否越界且有效  如果不越界并且有效if (rest - arr[i] >=0 && dp[i][rest-arr[i]] != -1) {//再判断 当前dp[i][rest] == -1是否成立，如果成立，说明dp[i+1][rest]也是-1//那么直接将左边的值赋值给dp[i][rest]if (dp[i][rest] == -1) {dp[i][rest] = dp[i][rest-arr[i]] + 1;} else {//当前dp[i][rest] == -1是否成立，如果不成立，那就比较当前dp[i][rest]和他左边谁小，谁小用谁dp[i][rest] = Math.min(dp[i][rest],dp[i][rest-arr[i]] + 1);}}}}return dp[0][aim];}

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