本节书摘来自华章出版社《数论概论（原书第4版）》一书中的第2章，作者 布朗大学，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

第2章 勾 股 数 组

毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是中学生“喜爱”的公式,它表明任一个直角三角形(如图21所示)的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．用公式表示就是

因为对数论(即自然数理论)感兴趣,所以我们会问是否存在毕达哥拉斯三角形,它的所有边长都是自然数．有许多这样的三角形，最著名的例子是边长为3,4,5的三角形（即中国古代数学家发现的“勾广三，股修四、径隅五”）．下面是前几个例子:

对这些毕达哥拉斯三元组（下称勾股数组）的研究在毕达哥拉斯时代以前很久就开始了．包含这种三元组的巴比伦表格中甚至有很大的三元组,这表明巴比伦人可能拥有得到这种三元组的系统方法．更令人惊讶的是，

13巴比伦人似乎使用他们的勾股数组表作为原始的三角形表．古埃及人也使用勾股数组．例如,产生直角的粗略方法是取一根绳子,将其分成12等份,系成一个圈再绷成一个3-4-5三角的形状,如图22所示．这为标记地界或建造金字塔等提供了一种廉价的直角工具．

巴比伦人与古埃及人拥有研究勾股数组的实际理由．这种实际理由仍存在吗?对于这种特殊问题,答案是“未必”．然而研究勾股数组至少有一种好的理由,与值得研究伦布兰特艺术和贝多芬音乐的理由相同．数之间相互影响方式的美正如油画或交响乐创作的美．为欣赏这种美,人们不得不花费大量精力．但是这种努力是值得的．本书的目的是理解并欣赏真正优美的数学,学会如何发现与证明这种数学,甚至做出我们自己原创性的贡献．

你无疑会认为这有点胡说，让我们看些实例．第一个纯朴的问题是，是否存在无穷多个勾股数组,即满足方程a2+b2=c2的自然数三元组(a,b,c)．答案是“肯定的”．如果取勾股数组(a,b,c),用整数d乘它,则得到新的勾股数组(da,db,dc)．这是成立的，因为

显然,这些新的勾股数组并不令人感兴趣．所以我们转而关注没有（大于1）公因数的三元组．我们甚至给它们起个名字:14

本原勾股数组(简写为PPT)是一个三元组(a,b,c)，其中a,b,c没有公因数
数d是a,b，c的公因数指的是a,b，c都是d的倍数．例如,3是30,42，105的公因数,因为30=3•10,42=3•14，105=3•35,事实上3是它们的最大公因数．另一方面,数10,12，15没有(除1外的)公因数．因为本章的目的是不拘泥于严谨体系来研究有趣而美妙的数论,所以,我们非正式地使用公因数与整除性并相信自己的直觉．在第5章我们将回到这些问题,更仔细地发展整除性理论．

,且满足

回顾一下第1章提到的研究步骤．第一步是积累数据．使用计算机代入具体的a,b值并检查a2+b2是否为平方数．下面是得到的一些本原勾股数组:

由这个短表容易得到一些结论．例如,似乎a与b奇偶性不同且c总是奇数．

不难证明这些猜想是正确的．首先,如果a与b都是偶数,则c也是偶数．这意味着a,b,c有公因数2,所以三元组不是本原的．其次,假设a,b都是奇数,那么c必是偶数．于是存在整数x,y,z使得

将其代入方程a2+b2=c2得

最后一个等式说的是一个奇数等于一个偶数，这是不可能的,所以a与b不能都是奇数．因为我们已证明它们不可能都是偶数,也不可能都是奇数,15故它们的奇偶性不同．

再由方程a2+b2=c2可得c是奇数．

考虑到a,b的对称性,我们的问题化为求解方程
a2+b2=c2,a是奇数, b是偶数, a,b,c没有公因数
的所有自然数解．我们使用的工具是因数分解和整除性．

我们的第一个观察如下：如果(a,b,c)是本原勾股数组,则可进行因数分解
a2=c2-b2=(c-b)(c+b)．
下面是来自前面列表的例子,注意我们总是取a是奇数且b是偶数:

似乎c-b与c+b本身总是平方数．我们用另外两个例子验证这个观察:

怎样证明c-b与c+b都是平方数呢?由前面的列表,另一个观察是c-b与c+b似乎没有公因数．我们可如下证明这个断言：假设正整数d是c-b与c+b的公因数，即d整除c-b与c+b．则d也整除

因此d整除2b与2c．但是b与c没有公因数,这是因为我们假设了(a,b,c)是本原勾股数组．从而d必等于1或2．但d也整除(c-b)(c+b)=a2且a是奇数,故d必等于1．换句话说,16整除c-b与c+b的数只能是1,所以c-b与c+b没有公因数．

现在我们知道c-b与c+b没有公因数而且由于(c-b)(c+b)=a2，所以c-b与c+b的积是平方数．这种情况只有在c-b与c+b自身都是平方数时才出现如果考虑将c-b与c+b分解成素数乘积，就会发现从直观上看这是显而易见的,因为c-b分解式中的素数与c+b分解式中的素数不同．然而,素数分解的存在性与唯一性并不显然．在第7章我们将进一步讨论．
．记

为什么说是“接近”完成了证明呢？我们已经证明如果(a,b,c)是一个PPT，a为奇数，那么存在没有公因数的奇数s>t≥1使得a,b,c可用上述公式表示．我们还需要验证这些公式给出的总是一个PPT．先通过代数运算来说明公式给出的是勾股数组：

还需说明st,s2-t22和s2+t22没有公因数．利用素数的重要性质是最容易证明这个结论的，因此我们把证明推迟到第7章，17由读者来完成（习题73）．

例如,如果取t=1,则得三元组s,s2-12,s2+12,它的b与c值仅相差1．这就解释了上面列出的许多例子．下表列出了s≤9时所有可能的三元组．

关于记号的插曲

数学家创造了标准记号作为各种量的速记符号．我们应尽量少用这种记号,但有些通用符号是非常有用的，值得花时间在此介绍一下．它们是

另外,数学家常常使用R表示实数集合,C表示复数集合,但是我们不需要这些．为什么选取这些字母呢?选取N,R,C无需解释．表示整数集合的字母Z源自德文单词“Zahlen”,其意思是数．类似地,Q源自德文单词“Quotient”(与英文单词相同，意为商)．我们也使用标准的数学符号∈来表示“属于某个集合”．例如,a∈N表示a为自然数,x∈Q表示x为有理数．

习题

21(a)我们证明了在任何本原勾股数组(a,b,c)中,a或b是偶数．用相同的论证方法证明a或b必是3的倍数．18

(b)通过考察前面的本原勾股数组表,给出当a,b或c是5的倍数时的猜测．试证明你的猜测是正确的．

22非零整数d整除m是指对某个整数k满足m=dk．证明：若d整除m与n，则d也整除m-n与m+n．

23对下述每个问题,从搜集数据开始，进而分析数据,形成猜想;最后设法证明你的猜测是正确的．(别担心你不能解决问题的每一部分，有些部分相当难．)

(a)哪些奇数a可出现在本原勾股数组(a,b,c)中?

(b)哪些偶数b可出现在本原勾股数组(a,b,c)中?

(c)哪些整数c可出现在本原勾股数组(a,b,c)中?

24下面是两个本原勾股数组的例子：
332+562=652与162+632=652．
再至少找出一个新例子,使得两个本原勾股数组有相同的c值．你能找出有相同c值的三个本原勾股数组吗?你能找出多于三个且有相同c值的本原勾股数组吗？

25在第1章中我们看到第n个三角数Tn由公式
Tn=1+2+3+…+n=n(n+1)2．
给出．前四个三角数是1,3,6,10．在我们的勾股数组（a,b,c）列表中有些b值是三角数的4倍，例如，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)．

(a)求出b=4T5，4T6，4T7的本原勾股数组(a,b,c)．

(b)你认为对每个三角数Tn都存在b=4Tn的本原勾股数组(a,b,c)吗?如果你确信这成立,则证明它,否则,找出使其不成立的三角数．

26如果观察本章的本原勾股数组表,你会发现多个三元组（a,b,c）满足c比a大2．例如,三元组(3,4,5),(15,8,17),(35,12,37),(63,16,65)都具有这种性质．

(a)再求两个本原勾股数组(a,b,c)使得c=a+2．

(b)求本原勾股数组(a,b,c)使得c=a+2且c>1000．

(c)试求满足c=a+2的本原勾股数组(a,b,c)的通用公式．

27对本章列表中的每个本原勾股数组(a,b,c)，计算2c-2a．这些值呈现某种特殊形式吗?试证明你的观察对所有本原勾股数组成立．

28设m,n为相差2的正整数，将1m+1n写成最简分数．例如，12+14=34,13+15=815．
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（a）计算接下去的三个例子．

（b）考察 (a) 中分数的分子和分母，与上一页上的勾股数组表对照，提出关于这些分数的一个猜想．

（c）证明你的猜想是正确的．

29(a)阅读关于巴比伦数系的材料并写出简短说明,要包括1~10以及20,30,40,50的记号．

(b)了解被称为Plimpton 322号的巴比伦泥石板并写出简要说明,要涉及它的形成年代．

（c）Plimpton 322号的第二和第三列给出了一些整数对(a,c)，它们满足c2-a2是完全平方数．将其中的一些数对从巴比伦数转化为十进制数，并计算b的值使得(a,b,c)为勾股数组．20