Cut the Sequence（POJ3017）

poj3017

题目大意：给一个长度为n的序列a，要你将其分成若干段，在满足每段和不超过m的情况下，让每段中的最大值之和最小，求最小值。

容易想到动态规划，令f[i]表示把前i个数分段所得的最小值

f[i]=min{f[j]+max _(j+1<=k<=i){a[k]}} （a[j+1]+a[j+2]+......+a[i]<=m）

时间复杂度o（n²），我们考虑如何优化。

考虑单调队列，由于f[i]一定是单调不降的，

对于任意两个连续决策j-1，j（0<=j-1<j<i且a[j+1]+a[j+2]+......+a[i]<=m）,我们分两种情况：

情况1：若（a[j]+a[j+2]+......+a[i]>m）

此时j-1不符合条件，j有用，优

情况2：若（a[j]+a[j+2]+......+a[i]<=m）

当存在 f[j-1]+max_(j<=k<=i){a[k]} <= f[j]+max_(j+1<=k<=i){a[k]}

说明j-1更优，且随着i的增大，j-1更容易满足小于i，所以j为无用决策，应删除。

所以当且仅当 f[j-1]+max_(j<=k<=i){a[k]} > f[j]+max_(j+1<=k<=i){a[k]} ,j有用.

因为f[j-1]<=f[j]

所以 max_(j<=k<=i){a[k]} > max_(j+1<=k<=i){a[k]}

所以 a[j]=max_(j<=k<=i){a[k]}

综上：若j更优，除了满足（a[j+1]+a[j+2]+......+a[i]<=m）

还应当满足两个条件之一

条件一 a[j]+a[j+2]+......+a[i]>m

条件二 a[j]=max_{(_j<=k<=i)}{a[k]}

条件一容易处理，考虑条件二，维护一个决策点j单调递增，a[j]单调递减的队列即可。

至于max _(j+1<=k<=i){a[k]｝如何得到，其实就是队列下一个元素的a值。

但注意到维护的队列对f[j]+max _(j+1<=k<=i){a[k]}没有单调性，所以建立一个数据结构，如平衡树set，存f[j]+max _(j+1<=k<=i){a[k]}，

以便快速得到。（数据太水，直接暴力扫队列竟然还要快一些）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<set>
 6 #define ll long long
 7 using namespace std;
 8 int f[100005],a[100005],q[100005];
 9 int n;
10 ll m,sum[100005];
11 multiset<int> s;
12 int main()
13 {
14     int i,j;
15     scanf("%d%lld",&n,&m);
16     int L=1,r=0,k=0;//k为队列区间起始位置L的前一个位置 (维护条件2)
17     for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
18     for(i=1;i<=n;i++)
19     {
20         if(a[i]>m){printf("-1");return 0;}
21         while(sum[i]-sum[k]>m)k++;//维护k
22         while(L<=r&&q[L]<=k)
23         {
24             if(L<r)s.erase(f[q[L]]+a[q[L+1]]);//删去 区间和大于m的候选项
25             L++;
26         }
27         while(L<=r&&a[q[r]]<=a[i])
28         {
29             if(L<r)s.erase(f[q[r-1]]+a[q[r]]);//维护a[]单调递减
30             r--;
31         }
32         q[++r]=i;
33         if(L<r)s.insert(f[q[r-1]]+a[i]);
34         f[i]=f[k]+a[q[L]];//条件1更新f
35         if(L<r)f[i]=min(f[i],*s.begin());//条件2更新f
36     }
37     printf("%d",f[n]);
38     return 0;
39 }

转载于:https://www.cnblogs.com/dsb-y/p/11008366.html

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