递推关系中的数列通项
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/78142983
普通方法
叠加法/叠乘法
公式法
阶差法
待定系数法
辅助数列法
归纳、猜想
倒数法
[求解数列通项公式的常用方法]
某小皮
特征方程法
（一阶线性递推式）
设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式？
特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.
证明：因为由特征方程得作换元则
当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）
Note: 本质是就是带有不定项的辅助数列法嘛。
示例
例1．已知数列满足：求。
解：作方程
当时，
数列是以为公比的等比数列.于是
（二阶线性递推式）
定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；
当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
示例
例3：已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由，得，且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得
，
，
……
把以上各式相加，得
。
解法二（特征根法）：
数列： 的特征方程是：。
,
又由，于是
故
(分式递推式)
定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，
若则
若，则其中
特别地，当存在使b_n0 = 0时，无穷数列不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，
其中
示例
例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
∴
∴即
[特征方程法求递推数列的通项公式]
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