特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、(一阶线性递推式)设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为,则当时,为常数列,即,其中是以为公比的等比数列,即.
证明:因为由特征方程得作换元则
当时,,数列是以为公比的等比数列,故
当时,,为0数列,故(证毕)
下面列举两例,说明定理1的应用.
例1.已知数列满足:求。
解:作方程
当时,
数列是以为公比的等比数列.于是
例2.已知数列满足递推关系:其中为虚数单位。当取何值时,数列是常数数列?
解:作方程则要使为常数,即则必须
二、(二阶线性递推式)定理2:对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。
例3:已知数列满足
,求数列的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法)
由,得
,
且。
则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是
。把代入,得
,
,
,
……
。
把以上各式相加,得
。
解法二(特征根法):数列: 的特征方程是:。
,
又由,于是
故
三、(分式递推式)定理3:如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程.
(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时,
若则
若,则其中
特别地,当存在使时,无穷数列不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时,则,
其中
例3、已知数列满足性质:对于且求的通项公式.
解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,
则有
∴
∴
即
例5.已知数列满足:对于都有
(1)若求
(2)若求
(3)若求
(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?
解:作特征方程变形得
特征方程有两个相同的特征根依定理2的第(1)部分解答.
(1)∵对于都有
(2)∵
∴
令,得.故数列从第5项开始都不存在,
当n ≤4,时,.
(3)∵∴
∴
令则∴对于
∴
(4)、显然当时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,时,数列是存在的,当时,则有令则得且≥2.
∴当(其中且N≥2)时,数列从第n项开始便不存在.
于是知:当在集合{-3或且≥2}上取值时,无穷数列都不存在.
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