不动点求数列通项原理_不动点求数列通项的原理是什么？

匿名用户

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2011-08-30 回答

数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An (A后的括号代表下标)求An通项

这道体我当时记了个方法：原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0

令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列

然后联立解出来

上述方法，应该说是特征根法和不动点法。

特征根：

对于多个连续项的递推式(不含常数项)，可化为X的(n-1)次方程.

即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为：

a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0

然后求出根(实根虚根都可以)，不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式，有多少同根，n的次数就是同根数减1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数，要靠已知项联立方程求解。

不动点：

比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an

a(n+1)=(an+2)/an(*)

令an=x,a(n+1)=x

x=(x+2)/x

x^2-x-2=0

x1=2,x2=-1

{(an-2)/(an+1)}为等比数列

令(an-2)/(an+1)=bn

b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]

(将a(n+1)用*式换成an)

=-1/2

b(n+1)=(-1/2)bn

b1=-1/2

bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)

an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1

注：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程

(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出

(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出

若无解，就只有再找其他方法了。

并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。

对于原理，要大学才学，是建立在对方程的研究之上的。

帮不了你了，不好意思，你去看大学的书吧

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