BZOJ1084洛谷P2331 [SCOI2005]最大子矩阵

DP+思维

思路

这道题的切入点是mmm，发现mmm只有两种取值，那么我们就可以尝试对mmm分类讨论

m=1

发现在m=1m=1m=1时就是在一个一维序列上做k个最大子段和，我们定义f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示处理到第iii位，共jjj个矩阵的最大和，咋转移？
1.1.1. 假设这一位不选，那就是f[i][j]=f[i−1][j]f[i][j]=f[i-1][j]f[i][j]=f[i−1][j]
2.2.2.否则枚举上一个矩形结束位置kkk，那么
f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j−1]+s[k]−s[j]f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j-1]+s[k]-s[j]f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j−1]+s[k]−s[j]
s是前缀和
最后输出f[n][e]f[n][e]f[n][e]就好了

m=2

在二维下，我们类比一维，但是因为一个矩形可以占据一列，也可以占据两列，所以我们定义g[i][j][k]g[i][j][k]g[i][j][k]表示第一列到第iii行，第二列到第jjj行，共k个矩形的最大和，如何转移？我们枚举iii，jjj
1.1.1.i，ji，ji，j都不选，g[i][j][k]=max(g[i−1][j][k],g[i][j−1][k])g[i][j][k]=max(g[i-1][j][k],g[i][j-1][k])g[i][j][k]=max(g[i−1][j][k],g[i][j−1][k])
2.2.2.考虑在第一列上转移，枚举ppp，可以得到
g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[p][j][k−1]+s1[i]−s1[p])g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[p][j][k-1]+s1[i]-s1[p])g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[p][j][k−1]+s1[i]−s1[p])
3.3.3.考虑在第二列上转移，枚举ppp，可以得到
g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[i][p][k−1]+s2[j]−s2[p])g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[i][p][k-1]+s2[j]-s2[p])g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[i][p][k−1]+s2[j]−s2[p])
4.4.4.考虑两列一起转移，这样的情况存在，当且仅当i=ji=ji=j时，这样才能构造出一个新矩形，然后我们枚举一个p，可以得到
g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[p][p][k−1]+s1[i]−s1[p]+s2[j]−s2[p])g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[p][p][k-1]+s1[i]-s1[p]+s2[j]-s2[p])g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[p][p][k−1]+s1[i]−s1[p]+s2[j]−s2[p])
s1s1s1是第一列前缀和，s2s2s2是第二列前缀和
最后输出g[n][n][e]g[n][n][e]g[n][n][e]

代码

//By AcerMo
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=105;
int n,m,e,a[M][3];
int s1[M],s2[M],f[M][M],g[M][M][M];
signed main()
{scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);for (int i=1;i<=n;i++)for (int k=1;k<=m;k++)scanf("%d",&a[i][k]);if (m==1){for (int i=1;i<=n;i++) s1[i]=s1[i-1]+a[i][1];for (int i=1;i<=e;i++)for (int k=1;k<=n;k++){f[k][i]=f[k-1][i];for (int j=0;j<k;j++)f[k][i]=max(f[k][i],f[j][i-1]+s1[k]-s1[j]);}return printf("%d",f[n][e]),0;}for (int i=1;i<=n;i++) s1[i]=s1[i-1]+a[i][1],s2[i]=s2[i-1]+a[i][2];for (int i=1;i<=e;i++)for (int k=1;k<=n;k++)for (int j=1;j<=n;j++){g[k][j][i]=max(g[k-1][j][i],g[k][j-1][i]);for (int p=0;p<k;p++) g[k][j][i]=max(g[k][j][i],g[p][j][i-1]+s1[k]-s1[p]);for (int p=0;p<j;p++)g[k][j][i]=max(g[k][j][i],g[k][p][i-1]+s2[j]-s2[p]);if (k==j) for (int p=0;p<k;p++)g[k][j][i]=max(g[k][j][i],g[p][p][i-1]+s1[k]+s2[j]-s1[p]-s2[p]);}printf("%d",g[n][n][e]);return 0;
}

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