BZOJ 1143 祭祀river 最长反链

http://vfleaking.blog.163.com/blog/static/1748076342012918105514527/大前提：在有向无环图中链是一个点的集合，这个集合中任意两个元素v、u，要么v能走到u，要么u能走到v。反链是一个点的集合，这个集合中任意两点谁也不能走到谁。最长反链是反链中最长的那个。那么最长反链怎么求呢？另一个东西叫：最小链覆盖。就是用最少的链，经过所有的点至少一次（为什么不叫最少链覆盖啊囧……）于是啥啥定理来了：最长反链长度 = 最小链覆盖数下面来证明：首先，最长反链中的每个点，一定在不同的链中，所以得到：最长反链长度 ≤ 最小链覆盖数下面关心的是，最长反链长度 ≥ 最小链覆盖数吗？用数学归纳法。首先空的图显然成立。假设对于所有点数小于图G的图都成立，现在来证G也满足条件。两个定义：源：没有一个点能走到它的点。（入度为0）汇：不能走到任何一个点的点。（出度为0）设：这个图点集为V这个图的最长反链为A能走到A中某个点的点的集合为B，A中某个点能走到的点构成的集合为C。（1）若A中至少有一个点既不是源也不是汇则： 1. B ≠ V （否则反链的点全是汇） 2. C ≠ V （否则反链的点全是源） 3. B ∪ C = V：反证法，假设有一个点v既不属于B也不属于C，那么说明反链上任何一点不能到v，v也不能到反链上任何一个点，反链加上v之后能成为更长的反链，与假设矛盾。 4. B ∩ C = A：反证法，假设有一个点v既属于B也属于C但不属于A，那么说明反链上某点a能到v，v能到反链上某点b。若a = b，则与图是有向无环图矛盾。若a ≠ b，则a能先到v，在从v到达b，与a、b都在反链上矛盾。设B构成的子图、C构成的子图的最小链覆盖的链的集合分别为C[B]和C[C]。因为|B| < |V|，|C| < |V|，由归纳假设，C[B]、C[C]大小分别等于B构成的子图和C构成的子图的最长反链的大小。考虑一条链c ∈ C[B]，则c中必然存在一个在最长反链上的点v，不然最小链覆盖会大于最长反链，与归纳假设矛盾。因为B ∩ C = A，所以C[B]中v不能到任何一个点。所以v必为c的汇。于是得到：A中的点都是C[B]中某条链的汇。同理：A中的点都是C[C]中某条链的源。又B ∪ C = V，B ∩ C = A，C[B]中某条链的汇必为C[C]中某条链的源，于是把C[B]和C[C]拼起来，就得到一个原图G的一种可行的链覆盖了！考虑这个链覆盖，发现这个链覆盖大小 = 最长反链长度，得到最小链覆盖大小 ≤ 最长反链长度。又由前面的最小链覆盖大小 ≥ 最长反链长度，所以G中最小链覆盖大小 = 最长反链长度（2）若A是所有源的集合或所有汇的集合若A是所有源的集合，那么从A中随便取一个元素v（这个可以随便找到吧）再从V中随便找一个汇u，使得v可以到u（这个也可以随便找到吧）（u可以等于v）然后G中去掉v、u形成图G'。则G'的最长反链大小一定小于等于|A| - 1，不然的就可以在G中找到一条不选v、u的最长反链，利用（1）的结论可以证明正确性。由于归纳假设，则G'中一定可以找到一个数量为|A| - 1的链覆盖。再加上{v} ∪ {u}这条链，则可以在G中找到一个数量为|A|的链覆盖，所以G的最小链覆盖 ≤ 最长反链长度。又由前面的最小链覆盖大小 ≥ 最长反链长度，所以G中最小链覆盖大小 = 最长反链长度。证完了，这就是传说中的Dilworth定理：最小链覆盖数 = 最长反链长度。其对偶定理：最长链长度 = 最小反链覆盖数就不证了，网上的证明烂大街了。那么求最小链覆盖数的方法，就是首先传递闭包，然后就变成了最小路径覆盖。拆点，用二分图匹配解决之。这是后话，不说了。

BZOJ 1143 祭祀river 最长反链相关推荐

BZOJ 1143 祭祀 river（最大独立集）
题目链接:http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1143 题意:给出一个有向无环图.在其中找出一个最大的点集使得点集中任意两个点之间不可达. ...
BZOJ 1143 祭祀
Description 在遥远的东方,有一个神秘的民族,自称Y族.他们世代居住在水面上,奉龙王为神.每逢重大庆典, Y族都会在水面上举办盛大的祭祀活动.我们可以把Y族居住地水系看成一个由岔口和河道组成 ...
最长反链（bzoj 1143: [CTSC2008]祭祀river）
题目描述: 给你一个n个点m条边的有向无环图,求出最大点集满足其中任意两点间都不能存在路径也就是对于所有的x, y∈S,x不能到达y,y也不能到达x 对于有向无环图(DAG): 链:一些点的集合,链 ...
bzoj 1143 bzoj 2718 最长反链
题意:n个点,m条有向边,求最长反链又到了涨姿势的时候了...(果然蒟蒻) DAG中,有如下的一些定义和性质: 链:一条链是一些点的集合,链上任意两个点x, y,满足要么 x 能到达 y ,要么 y ...
[bzoj1143][CTSC2008]祭祀river——DAG上最长反链，Dilworth定理，最大二分图匹配，Floyd
题目大意: 给定一个DAG图,求最长反链(即一个点集,其中任意点两两不可以相互到达). 思路: 一开始我其实是想用求最大独立集的方法去求的.但是并不会(好像也过不去). 题目所要求的是最长反链,需要用 ...
1143: [CTSC2008]祭祀river
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB Submit: 4018 Solved: 2048 [Submit][Status][Discuss] Descri ...
BZOJ.1143.[CTSC2008]祭祀(Dilworth定理最大流ISAP)
题目链接题目是求最长反链,反链指点集内任意两点不能互相到达. 根据Dilworth定理,在DAG中,\[最长反链 = 最小路径覆盖 = V - 最大匹配数\] 用Floyd求一遍传递闭包后,在所有可 ...
bzoj1143[CTSC2008]祭祀river
bzoj1143[CTSC2008]祭祀river 题意: Y族居住地水系是一个由岔口和河道组成的网络.每条河道连接着两个岔口,并且水在河道内按照一个固定的方向流动.水系中不会有环流.由于人数众多的原 ...
BZOJ1143[CTSC2008]祭祀river 偏序集及Dilworth定理
这里讲一下我对偏序集的认识如果有偏差可以评论我我会修改一:定义 (度娘上copy来的不想看的可以跳过设R是非空集合A上的一个二元关系,若R满足: 自反性.反对称性.传递性,则称R为A ...

BZOJ 1143 祭祀river 最长反链

BZOJ 1143 祭祀river 最长反链相关推荐

最新文章

热门文章