bzoj 1143 bzoj 2718 最长反链

题意：n个点，m条有向边，求最长反链

又到了涨姿势的时候了...(果然蒟蒻）

DAG中，有如下的一些定义和性质：

链：一条链是一些点的集合，链上任意两个点x, y，满足要么 x 能到达 y ，要么 y 能到达 x 。

反链：一条反链是一些点的集合，链上任意两个点x, y，满足 x 不能到达 y，且 y 也不能到达 x。

一个定理：最长反链长度 = 最小链覆盖（用最少的链覆盖所有顶点）

对偶定理：最长链长度 = 最小反链覆盖

那么我们要求出的就是这个有向无环图的最小链覆盖了。

最小链覆盖即路径可以相交的最小路径覆盖。

先看路径不能相交的最小路径覆盖怎么来做：

建立一个二分图，两边都是n个点，原图的每个点 i 对应两个，在左边的编号 i, 在右边的编号 n+i。

原图中如果存在一条边 (x, y)，那么就在二分图中连一条 (x1, y2) 的边。

则 原图的最小路径覆盖（路径不能相交）= n-二分图最大匹配

那么路径可以相交的最小路径覆盖（最小链覆盖）呢？

将原图做一次Floyd传递闭包，得出x是否能到达y

如果两个点 x, y，满足 x 可以到达 y ，那么就在二分图中建立边 (x1, y2) 。

这里与上面不同，只要 x 能到达 y ，就直接连一条边 (x, y)，

然后就转化为了路径不能相交的最小路径覆盖了。

即 原图的最小链覆盖 = n -二分图最大匹配

bzoj 1143

varn,m,x,y,ans,l   :longint;i,j             :longint;map             :array[0..110,0..110] of boolean;link,last       :array[0..210] of longint;flag            :array[0..210] of boolean;pre,other       :array[0..10010] of longint;procedure floyd;
vari,j,k:longint;
beginfor k:=1 to n dofor i:=1 to n dofor j:=1 to n domap[i,j]:=(map[i,k] and map[k,j]) or map[i,j];
end;procedure connect(x,y:longint);
begininc(l);pre[l]:=last[x];last[x]:=l;other[l]:=y;
end;function find(x:longint):boolean;
varp,q:longint;
beginq:=last[x];while (q<>0) dobeginp:=other[q];if not flag[p] thenbeginflag[p]:=true;if (link[p]=0) or (find(link[p])) thenbeginlink[p]:=x;exit(true);end;end;q:=pre[q];end;exit(false);
end;beginread(n,m);for i:=1 to m dobeginread(x,y);map[x,y]:=true;end;floyd;for i:=1 to n dofor j:=1 to n doif map[i,j] then connect(i,n+j);ans:=0;for i:=1 to n dobeginfillchar(flag,sizeof(flag),false);if find(i) then inc(ans);end;ans:=n-ans;writeln(ans);
end.

bzoj 2718

varn,m,x,y,ans,l   :longint;i,j             :longint;map             :array[0..210,0..210] of boolean;pre,other       :array[0..40010] of longint;flag            :array[0..410] of boolean;last,link       :array[0..410] of longint;
procedure connect(x,y:longint);
begininc(l);pre[l]:=last[x];last[x]:=l;other[l]:=y;
end;procedure floyd;
vari,j,k:longint;
beginfor k:=1 to n dofor i:=1 to n dofor j:=1 to n domap[i,j]:=map[i,j] or (map[i,k] and map[k,j]);
end;function find(x:Longint):boolean;
varp,q:longint;
beginq:=last[x];while (q<>0) dobeginp:=other[q];if not flag[p] thenbeginflag[p]:=true;if (link[p]=0) or find(link[p]) thenbeginlink[p]:=x;exit(true);end;end;q:=pre[q];end;exit(false);
end;beginread(n,m);for i:=1 to m dobeginread(x,y);map[x,y]:=true;end;floyd;for i:=1 to n dofor j:=1 to n doif map[i,j] then connect(i,n+j);//ans:=0;for i:=1 to n dobeginfillchar(flag,sizeof(flag),false);if find(i) then inc(ans);end;writeln(n-ans);
end.

——by Eirlys

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