最长反链（bzoj 1143: [CTSC2008]祭祀river）

题目描述：

给你一个n个点m条边的有向无环图，求出最大点集满足其中任意两点间都不能存在路径

也就是对于所有的x, y∈S，x不能到达y，y也不能到达x

对于有向无环图（DAG）：

链：一些点的集合，链中任意两点x, y，一定满足x能到达y或者y能到达x

反链：一些点的集合，链中任意两点x, y，一定满足x不能到达y，y也不能到达x

而上题显然就是求出最长反链

定理：最长反链 = 最小链覆盖（用最少的链覆盖图中所有的点，即路径可重叠的最小路径覆盖）

这样题目就又转成了求可重叠的最小路径覆盖

对于二分图：

最小点覆盖（每条边都有至少一个点在集合中）= 最大匹配

最小边覆盖（每个点都有至少一个连它的边在集合里，如果某点没有边相连就直接+1）= 二分图点数 - 最大匹配

最大独立集（集合中任意两点之间都没有边）= 二分图点数 - 最大匹配

DAG的最小路径覆盖：

将原图的每个点拆成xa，xb两个，分别在二分图的两边，如果原图存在有向边x->y，那么xa到yb连一条边

那么DAG最小路径覆盖（路径不可重叠的） = 原图点数 - 最大匹配

证明：

开始每个点都独立为一条路径，总共有n条不相交路径，在二分图里每加一条边就相当于将两条路径合成了一条

如果二分图中两条边有公共点，那么这两条边就相当于原图中两条到同一个点的边或者从同一个点引出的两条边

显然这两条边一定属于不同路径！

所以说DAG中最小不可重叠路径覆盖可以通过转成二分图求出

而题目中要求的是最小可重叠路径覆盖

那怎么办？

其实很简单，改一下只要x能到达y，那么xa到yb连一条边再求一遍最大匹配就ok了

floyd+二分匹配搞定，复杂度O(n^3)

1143: [CTSC2008]祭祀river

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Description

在遥远的东方，有一个神秘的民族，自称Y族。他们世代居住在水面上，奉龙王为神。每逢重大庆典， Y族都会在水面上举办盛大的祭祀活动。我们可以把Y族居住地水系看成一个由岔口和河道组成的网络。每条河道连接着两个岔口，并且水在河道内按照一个固定的方向流动。显然，水系中不会有环流（下图描述一个环流的例子）。

由于人数众多的原因，Y族的祭祀活动会在多个岔口上同时举行。出于对龙王的尊重，这些祭祀地点的选择必须非常慎重。准确地说，Y族人认为，如果水流可以从一个祭祀点流到另外一个祭祀点，那么祭祀就会失去它神圣的意义。族长希望在保持祭祀神圣性的基础上，选择尽可能多的祭祀的地点。

Input

第一行包含两个用空格隔开的整数N、M，分别表示岔口和河道的数目，岔口从1到N编号。接下来M行，每行包含两个用空格隔开的整数u、v，描述一条连接岔口u和岔口v的河道，水流方向为自u向v。

N ≤ 100 M ≤ 1000

Output

　　第一行包含一个整数K，表示最多能选取的祭祀点的个数。

Sample Input

4 4

1 2

3 4

3 2

4 2

Sample Output

就是上面例子那道题

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int n, road[105][105], link[105], vis[105];
int Sech(int x)
{int i;for(i=1;i<=n;i++){if(road[x][i] && vis[i]==0){vis[i] = 1;if(link[i]==0 || Sech(link[i])){link[i] = x;return 1;}}}return 0;
}
int main(void)
{int i, j, k, m, x, y, ans;scanf("%d%d", &n, &m);for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d", &x, &y);road[x][y] = 1;}for(k=1;k<=n;k++){for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(road[i][k] && road[k][j])road[i][j] = 1;}}}ans = 0;for(i=1;i<=n;i++){memset(vis, 0, sizeof(vis));ans += Sech(i);}printf("%d\n", n-ans);return 0;
}