正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3846

题目大意

BL≡N(modP)B^L\equiv N(mod\ P)BL≡N(mod P)
求最小的LLL。

解题思路

首先为了顺眼改一下变量名
Ax≡B(modP)A^x\equiv B(mod\ P)Ax≡B(mod P)
然后我们设x=i∗t−j(0≤i≤t,0≤j≤t−1)x=i*t-j(0\leq i\leq t,0\leq j\leq t-1)x=i∗t−j(0≤i≤t,0≤j≤t−1)其中t=⌈P⌉t=\lceil \sqrt P\rceilt=⌈P⌉
这样xxx就可以表示任何值
Ai∗t−j≡B(modP)A^{i*t-j}\equiv B(mod\ P)Ai∗t−j≡B(mod P)
(At)i≡B∗Aj(modP)(A^t)^i\equiv B*A^j(mod\ P)(At)i≡B∗Aj(mod P)
那我们可以枚举jjj的所有值并用hashhashhash保存下来B∗Aj%PB*A_j\%PB∗Aj%P的所有可能值。

然后枚举iii让(At)i%P(A^t)^i\% P(At)i%P与B∗AJ%PB*A_J\%PB∗AJ%P的值匹配就好了。

因为这里是用mapmapmap实现的

时间复杂度:O(nlogn):O(\sqrt n\ log\sqrt n):O(n logn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
ll p,b,n,ans=1e18,t;
map<ll,ll> v;
ll power(ll x,ll b)
{ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&p,&n,&b);t=(int)sqrt(p)+1;for(ll i=0;i<t;i++){ll val=b*power(n,i)%p;v[val]=i;}n=power(n,t);if(n==0) {if(!b) printf("1");else printf("no solution");return 0;}for(ll i=0;i<=t;i++){ll val=power(n,i);ll j=v.find(val)==v.end()?-1:v[val];if(j>=0&&i*t-j>=0) ans=min(ans,i*t-j);}if(ans==1e18) printf("no solution");else printf("%lld",ans);
}

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P3846-[TJOI2007]可爱的质数【BSGS,数论】

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