基础篇
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基础篇

问题：

给出 a ， b ， p a，b，p a，b，p，其中 g c d ( a , p ) = 1 gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1，求 x x x满足
a x ≡ b ( m o d p ) a^x\equiv b(mod~p)\\ ax≡b(mod p)

思路：

设 x = A p − B x=A\sqrt p-B x=Ap −B其中 A ∈ [ 1 , p ] , B ∈ [ 0 , p ] A\in[1,\sqrt p],B\in[0,\sqrt p] A∈[1,p ],B∈[0,p ]，得到问题的变形
a A p − B ≡ b ( m o d p ) a A p ≡ b a B ( m o d p ) a^{A\sqrt p-B}\equiv b(mod~p)\\ a^{A\sqrt p}\equiv ba^B(mod~p)\\ aAp −B≡b(mod p)aAp ≡baB(mod p)
我们先枚举 B B B，算出每个 b a B m o d p ba^B~mod~p baB mod p，用 u n o r d e r e d _ m a p unordered\_map unordered_map存起来，再枚举 A A A，计算出 a A p a^{A\sqrt p} aAp ，在 u n o r d e r e d _ m a p unordered\_map unordered_map中找相同的值，这样的 A , B A,B A,B就能恰好凑成一对答案。复杂度 O ( p ) O(\sqrt p) O(p )，如果用 m a p map map的话，就多一个 l o g log log。

模板：

unordered_map<ll, ll> mp;
ll bsgs(ll a, ll b, ll p) {if(a % p == 0) return -1;mp.clear();ll k = ceil(sqrt(p));for(int i=0; i<=k; i++) {mp[b] = i;b = b * a % p;}ll aa = qpow(a, k, p), A = aa;for(int i=1; i<=k; i++) {if(mp[aa]) {return 1ll * i * k - mp[aa] + 1;}aa = aa * A % p;}return -1;
}

题目：

[TJOI2007]可爱的质数/模板BSGS

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
unordered_map<ll, ll> mp;
ll qpow(ll x, ll y, ll mod) {ll ans = 1;while(y) {if(y & 1) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}
ll bsgs(ll a, ll b, ll p) {if(a % p == 0 && b != 0) return -1;mp.clear(); ll k = ceil(sqrt(p));for(int i=0; i<=k; i++) {mp[b] = i;b = b * a % p;}ll aa = qpow(a, k, p), A = aa;for(int i=1; i<=k; i++) {if(mp[A]) {return 1ll*i*k-mp[A];}A = A * aa % p;}return -1;
}
int main() {#ifndef ONLINE_JUDGE freopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif  ll a, b, p;cin >> p >> a >> b;ll ans = bsgs(a, b, p);if(ans == -1) cout << "no solution";else cout << ans;return 0;
}

P2485 [SDOI2011]计算器
快速幂+扩展欧几里得+bsgs。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int inf = 0x7fffffff;
unordered_map<int, int> mp;
int qpow(int x, int y, int mod) {int ans = 1;while(y) {if(y & 1) ans = 1ll * ans * x % mod;x = 1ll * x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}
int exgcd(int &x, int &y, int a, int b) {if(b == 0) {x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(x, y, b, a%b);int tmp = y;y = x-a/b*y;x = tmp;return d;
}
signed main() {#ifndef ONLINE_JUDGE freopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifint n, k;cin >> n >> k;for(int i=1; i<=n; i++) {int y, z, p;cin >> y >> z >> p;if(k == 1) cout << qpow(y, z, p) << endl;else if(k == 2) {int u, v;int d = exgcd(u, v, y, p);if(z % d) puts("Orz, I cannot find x!");else {int l = p/d, r = z / d;cout << (1ll * (r % l) * (u % l) % l + l) % l << endl;}}else {mp.clear();if(y % p == 0 && z % p) {puts("Orz, I cannot find x!");continue;}int now = z%p, m = ceil(sqrt(p)), f = 0;mp[now] = 0;for(int i=1; i<m; i++) {now = now * y % p;mp[now] = i;}now = 1;int A = qpow(y, m, p);for(int i=1; i<=m; i++) {now = now * A % p;if(mp.count(now)) {cout << ((i*m - mp[now]) % p + p) % p << endl;f = 1;break;} }if(!f) puts("Orz, I cannot find x!");}}return 0;
}

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