浅谈BSGS和EXBSGS

我的 BSGS 和各位犇犇的差不多，但是不需要求逆元

Luogu [ TJOI2007 ] 可爱的质数

原题展现

题目描述

给定一个质数 $p$，以及一个整数 $b$，一个整数 $n$，现在要求你计算一个最小的非负整数 $l$，满足 $b^l \equiv n \pmod p$。

输入格式

仅一行，有 $3$ 个整数，依次代表 $p, b, n$。

输出格式

仅一行，如果有 $l$ 满足该要求，输出最小的 $l$，否则输出 no solution。

样例 #1

样例输入 #1

5 2 3

样例输出 #1

数据规模与约定

对于所有的测试点，保证 $2\le b,n < p<2^{31}$。

Baby Steps Giant Steps 详解

注意到互质，根据欧拉定理，我们易得$l< p$，枚举的时间复杂度为$O(p)$

其实可以优化到$O(\sqrt{p})$，设 $m=\lceil \sqrt{p}\rceil,r=b\%m$

于是我们可以将原式写成

\[b^{km+r}\equiv n(mod\;p)\\ b^{km}\equiv nb^{-r}(mod\;p) \]

右边好像要求逆元啊，我们不想求逆元，怎么办呢？

只需将式子改成

\[b^{km-r}\equiv n(mod\;p)\\ b^{km}\equiv nb^{r}(mod\;p) \]

解决了问题

我们考虑找到一个 $k$ 和一个 $r$ 使得上述式子成立，这个并不难

首先枚举 $r$ ，显然有 $r(1\leq r\leq m)$ 注意这里和广大打法不同

因为广大打法是枚举余数，这里枚举的是相反的

然后把右边式子的值哈希存下，枚举左边的 $k(1\leq k \leq m)$

对于左边枚举求出的值看看哈希数组是否存在对应的右边的值，如果有，那么就是一个解

搞出一个最小的解好像也不是很难吧.....

时间复杂度 $O(m)$ ，也就是 $O(\sqrt{p})$

然后注意一下，要打很多特判

上一下码风巨丑的代码

inline ll ksc(ll x, ll y, const ll& p) { return (x * y - (ll)((long double)x / p * y) * p + p) % p; }
vector<pair<ll, int> > v[ 100013];
inline ll BSGS(ll a, ll b, const ll&p) {if (b == 1) {if (a == 0)return -1;return 1;}if (b == 0) {if (a == 0)return 1;return -1;}if (a == 0) {return -1;}ll m = ceil(sqrt(p)), cnt = 1, res = 1;for (int r = 1; r <= m; r++) {cnt = ksc(cnt, a, p);//这个龟速乘不是龟速乘v[(ksc(cnt, b, p)) % mod].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));}for (int k = 1; k <= m; k++) {res = ksc(cnt, res, p);ll id=res%mod;if (v[id].size()){for (int j = v[id].size() - 1; j >= 0; j--){if (v[id][j].first ==res){return m * k - v[id][j].second; }                }                           }}return -1;
}

SPOJ3105 MOD

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题目描述

给定 $a,p,b$，求满足 $a^x≡b \pmod p$ 的最小自然数 $x$ 。

输入格式

每个测试文件中包含若干组测试数据，保证 $\sum \sqrt p\le 5\times 10^6$。

每组数据中，每行包含 $3$ 个正整数 $a,p,b$ 。

当 $a=p=b=0$ 时，表示测试数据读入完全。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

如果无解，输出 No Solution，否则输出最小自然数解。

样例 #1

样例输入 #1

5 58 33
2 4 3
0 0 0

样例输出 #1

9
No Solution

数据范围

对于 $100\%$ 的数据，$1\le a,p,b≤10^9$ 或 $a=p=b=0$。

扩展 Baby Steps Giant Steps 详解

注意到不互质，那我们就要想办法让它互质

\[a^x\equiv b(mod\;p)\\ a^x-kp=b\\ 设 d=gcd(a,p)\\ 若 d|b 不成立，则无解\\ 式子除 d 得 a^{x-1}\frac a d- k\frac p d=\frac b d\\ 改记为a^{x-1}a'- kp'=b'\\ 即 a^{x-1}a'\equiv b'(mod\; p') \]

如此反复，直到互质为止，差不多就是

\[a^{x-cnt}a'\equiv b'(mod\; p') \]

注意，操作时如果两边值相等了，答案就是 $cnt$

然后就是个普通 BSGS ,变了一点点，左边需要乘上 $a'$，其他都是一模一样的

求出答案之后答案要加上 $cnt$ ,因为我们求出的是 $x-cnt$

本题时限高达 4s ，就算不写哈希用 map 也能通过

参考如下实现

vector<pair<ll, int> > v[ 1000013];
int vis[1000003];
inline ll exBSGS(ll a,ll b,ll p)
{memset( vis,0,sizeof(vis));if(p==0)return -1;if(p==1){if(b==0)return 0;return -1;}if (b == 1) {if (a == 0)return -1;return 1;}if (b == 0) {if (a == 0)return 1;return -1;}if (a == 0) {return -1;}ll ak=0,t=1,d=gcd(a,p);while(d!=1){ak++;t*=a;t/=d;p/=d;if(b%d!=0)return -1;b/=d;if(t%p==b%p)return ak;d=gcd(a,p);t%=p;}ll m = ceil(sqrt(p)), res=t%p,cnt=1;for (int r = 1; r <= m; r++) {cnt = ksc(cnt, a, p);ll hash=(ksc(cnt, b, p)) % mod;if(vis[hash]==0){vis[hash]=1;v[hash].clear();}v[hash].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));}for (int k = 1; k <= m; k++) {res = ksc(cnt, res, p);ll hash=res%mod;if (vis[hash]){for (int j = v[hash].size() - 1; j >= 0; j--){if (v[hash][j].first ==res){return m * k - v[hash][j].second+ak; }                }                           }}return -1;
}

大部分 BSGS 题都很明显，随便挑了几道

P4884 多少个 1？

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题目描述

给定整数 $K$ 和质数 $m$，求最小的正整数 $N$，使得 $ 11\cdots1$($N$ 个 $1$)$\equiv K \pmod m$。

说人话：就是 $111\cdots 1111 \bmod m = K$。

输入格式

第一行两个整数，分别表示 $K$ 和 $m$。

输出格式

一个整数，表示符合条件最小的 $N$。

样例 #1

样例输入 #1

9 17

样例输出 #1

提示

$30\%$ 的数据保证 $m\leq 10^6$。

$60\%$ 的数据保证 $m\leq 5\times 10^7$。

$100\%$ 的数据保证 $6\leq m\leq 10^{11}$，$0< K< m$，保证 $m$ 是质数。

解法

将式子乘九，再加一，得到一个式子

\[10^{N+1}=9*k+1(mod\; m) \]

然后 BSGS 即可

[SDOI2013] 随机数生成器

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题目背景

小 W 喜欢读书，尤其喜欢读《约翰克里斯朵夫》。

题目描述

最近小 W 准备读一本新书，这本书一共有 $p$ 页，页码范围为 $0 \sim p-1$。

小 W 很忙，所以每天只能读一页书。为了使事情有趣一些，他打算使用 NOI2012 上学习的线性同余法生成一个序列，来决定每天具体读哪一页。

我们用 $x_i$ 来表示通过这种方法生成出来的第 $i$ 个数，也即小 W 第 $i$ 天会读哪一页。这个方法需要设置 $3$ 个参数 $a,b,x_1$，满足 $0\leq a,b,x_1\lt p$，且 $a,b,x_1$ 都是整数。按照下面的公式生成出来一系列的整数：

\[x_{i+1} \equiv a \times x_i+b \pmod p \]

其中 $\bmod$ 表示取余操作。

但是这种方法可能导致某两天读的页码一样。

小 W 要读这本书的第 $t$ 页，所以他想知道最早在哪一天能读到第 $t$ 页，或者指出他永远不会读到第 $t$ 页。

输入格式

本题单测试点内有多组测试数据。

第一行是一个整数 $T$，表示测试数据组数。

接下来 $T$ 行，每行有五个整数 $p, a, b, x_1, t$，表示一组数据。

输出格式

对于每组数据，输出一行一个整数表示他最早读到第 $t$ 页是哪一天。如果他永远不会读到第 $t$ 页，输出$-1$。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

1
3
-1

提示

对于全部的测试点，保证：

$1 \leq T \leq 50$。
$0 \leq a, b, x_1, t \lt p$，$2 \leq p \leq 10^9$。
$p$ 为质数。

解法

推式子，我还没做，等几天吧...