Julia : The Power Sum的算法

HackerRank中有一道算法题，

即有一个数（input），可以由一个序列[1 2 3 4 …..]的power（幂）的级别（power的值为2时，即平方，为3即立方，…..）相加得到。请问有多少种可能？

具体地说：

当：input =10 ;power =2;
有 10 =1^2 +3^2；有一种构建方式。
当：input =100;power =2;
有100=10^2
= 6^2+8^2
=1^2+3^2+5^2+7^2 ；共三种构建方式。

也就是当input(<=1000)、power（>=2）确定时，有多少种组合？

一、构建一个系数矩阵（0，1）
在选的序列中,比如当power=2，序列[1,4,9,16,25,36,49,64,81,100]的序数是关键，本来是可以一个个试算的，但是放在一个矩阵中，会更方便。

下面的任务是构建一个穷尽的（0，1）矩阵，列有max_power_n项，即input开power根得到的值（input=100, power=2,max_power_n =sqrt(100)=10）。

思路是从mat =[1 0;1 1; 0 1; 0 0 ]来不断构建一个能包括各种情况的（0，1）矩阵，

其中：列数是：max_power_n。行数呢？
行数：是 2^(max_power_n) 。因为，每一列相当于一个变量，其值只有2种可能，0或1，也就会，所有的可能就是这个了。

function get_matrix(n::Int64)data =[];if n<2error("n<1!");elsemat =[1 0;1 1; 0 1; 0 0 ];for i=2:n-1temp1 =hcat(mat,zeros(mat)[:,1]);temp2= hcat(mat,ones(mat)[:,1]);data =[temp1;temp2];mat =copy(data);endreturn dataendend

二、输出函数

以下的函数可以得到总体的结果：

function get_result(input,power)max_power_n =Int64(ceil(input^(1/power)));out_matrix =get_matrix(max_power_n);sum_matrix =out_matrix*(collect(1:max_power_n).^power);output =sum(sum_matrix.==input);println("input:$input power:$power =>result :$output");return output;
end

output:

julia> get_result(100,2)
input:100 power:2 =>result :3
3julia> get_result(10,2)
input:10 power:2 =>result :1
1julia> get_result(10,3)
input:10 power:3 =>result :0
0julia> get_result(100,4)
input:100 power:4 =>result :0
0julia> get_result(120,2)
input:120 power:2 =>result :4

但是，如何看到明细的构成组合呢？

三、如何输出明细的结果？

既然要输出明细，那就让我们做一些优化：

function get_result_detail(input,power)max_power_n =Int64(ceil(input^(1/power)));out_matrix =get_matrix(max_power_n);series =collect(1:max_power_n).^power;sum_matrix =out_matrix*series;vec =sum_matrix.==input;println_detail(out_matrix,series,vec,input,power);
end

让我们写一个输出明细结果的函数：

function println_detail(out_matrix,series,vec,input,power)row,col=size(out_matrix)n =0;for i =1:rowif vec[i]==trueis_print_row =false;n =n+1;for j=1:colmat = out_matrix[i,j];ser = series[j];is_print_row ==false && print("$n th: =>");is_print_row =true;if mat==1 print(" $ser ");endendprint("\n");endendprintln("input:$input power:$power => total result :$n");
end

四、优化的结果输出

output_detail =>

julia> get_result_detail(100,2)
1 th: => 1  9  16  25  49
2 th: => 36  64
3 th: => 100
input:100 power:2 => total result :3julia> get_result_detail(102,2)
1 th: => 1  16  36  49
2 th: => 4  9  25  64
3 th: => 1  4  16  81
input:102 power:2 => total result :3julia> get_result_detail(225,2)
1 th: => 9  16  36  64  100
2 th: => 25  36  64  100
3 th: => 1  4  9  16  25  49  121
4 th: => 4  36  64  121
5 th: => 4  100  121
6 th: => 4  16  25  36  144
7 th: => 1  16  64  144
8 th: => 81  144
9 th: => 4  16  36  169
10 th: => 4  9  16  196
11 th: => 4  25  196
12 th: => 225
input:225 power:2 => total result :12

这下明细也可以看清楚了。

有一个问题，为什么power不能为1？我认为如果power为1，若input较大，你想象一下，这个矩阵得多大，会导致直接内存溢出。

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