prim算法构建最小生成树

问题[描述算法问题，首选形式化方式（数学语言），其次才是非形式化方式（日常语言）]
在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无向循环图，使得的 sum(w(u, v))最小，则此 T 为 G 的最小生成树。
解析[问题的理解和推导，可用电子版直接在此编写，也可用纸笔推导，拍照嵌入本文档]
过程分析：首先任选一点a作为起始点，加入集合V,再从集合U-V中找到另一点b使得b到V中任意一点的权值最小，把b加入集合V。以此类推，现在集合V={a，b}，再从集合U-V找到一点c使得c到V中任意一点的权值最小，将c加入集合V，此时就构建出一棵最小生成树。
设计[核心伪代码]
for (i = 2; i <= n; i++) { min = MAXCOST; minid = 0; for (j = 2; j <= n; j++) { if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) { min = lowcost[j];//找出权值最短的路径长度 minid = j; //找出最小的ID } } printf(“V%d-V%d=%d\n”,mst[minid],minid,min); sum += min;//求和 lowcost[minid] = 0;//该处最短路径置为0 for (j = 2; j <= n; j++) { if (graph[minid][j] < lowcost[j])//对这一点直达的顶点进行路径更新 { lowcost[j] = graph[minid][j]; mst[j] = minid; } } } printf(“最小权值之和=%d\n”,sum);}
分析[算法复杂度推导]顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v) 邻接表:O(elog2v)
源码[github源码地址]
#include<stdio.h> #define MAX 100 #define MAXCOST 0x7fffffff int graph[MAX][MAX]; void prim(int graph[][MAX], int n) { int lowcost[MAX]; int mst[MAX]; int i, j, min, minid, sum = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放顶点1可达点的路径长度 mst[i] = 1;//初始化以1位起始点 } mst[1] = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { min = MAXCOST; minid = 0; for (j = 2; j <= n; j++) { if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) { min = lowcost[j];//找出权值最短的路径长度 minid = j; //找出最小的ID } } printf(“V%d-V%d=%d\n”,mst[minid],minid,min); sum += min;//求和 lowcost[minid] = 0;//该处最短路径置为0 for (j = 2; j <= n; j++) { if (graph[minid][j] < lowcost[j])//对这一点直达的顶点进行路径更新 { lowcost[j] = graph[minid][j]; mst[j] = minid; } } } printf(“最小权值之和=%d\n”,sum);} int main() { int i, j, k, m, n; int x, y, cost; //freopen(“1.txt”,“r”,stdin);//文件输入 scanf("%d%d",&m,&n);//m=顶点的个数，n=边的个数 for (i = 1; i <= m; i++)//初始化图 { for (j = 1; j <= m; j++) { graph[i][j] = MAXCOST; } } for (k = 1; k <= n; k++) { scanf("%d%d%d",&i,&j,&cost); graph[i][j] = cost; graph[j][i] = cost; } prim(graph, m); return 0; }

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