最小生成树（prime算法、kruskal算法）和最短路径算法（floyd、dijkstra）

带权图分为有向和无向，无向图的最短路径又叫做最小生成树，有prime算法和kruskal算法；有向图的最短路径算法有dijkstra算法和floyd算法。

　　生成树的概念：联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树生成树是联通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之编程非连通图。生成树各边的权值总和称为生成素的权。权最小的生成树称为最小生成树，常用的算法有prime算法和kruskal算法。

　　最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径，常用的算法有：floyd算法和dijkstra算法。

　　构造最小生成树一般使用贪心策略，有prime算法和kruskal算法

　　prime算法的基本思想

1.清空生成树，任取一个顶点加入生成树

2.在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树

3.重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树

int prime(int cur)
{int index;int sum = 0;memset(visit, false, sizeof(visit));visit[cur] = true;for(int i = 0; i < m; i ++){dist[i] = graph[cur][i];    }for(int i = 1; i < m; i ++){int mincost = INF;for(int j = 0; j < m; j ++){if(!visit[j] && dist[j] < mincost){mincost = dist[j];index = j;    }    }visit[index] = true;sum += mincost;for(int j = 0; j < m; j ++){if(!visit[j] && dist[j] > graph[index][j]){dist[j] = graph[index][j];}    }    } return sum;
}

kruskal算法：构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树的根节点，则它是一个含有n棵树的森林。之后，从网的边集中选取一条权值最小的边，若该边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林只有一棵树。kruskal算法能够在并查集的基础很快的实现。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;const int size = 128;
int n;
int father[size];
int rank[size];//把每条边成为一个结构体，包括起点、终点和权值
typedef struct node
{int val;int start;int end;
}edge[SIZE * SIZE / 2];//把每个元素初始化为一个集合
void make_set()
{for(int i = 0; i < n; i ++){father[i] = i;rank[i] = 1;    }    return ;
}//查找一个元素所在的集合,即找到祖先
int find_set(int x)
{if(x != father[x]){father[x] = find_set(father[x]);    }    return father[x];
}//合并x,y所在的两个集合：利用Find_Set找到其中两个
//集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。
void Union(int x, int y)
{x = find_set(x);    y = find_set(y);if(x == y){return ;    }if(rank[x] < rank[y]){father[x] = find_set(y);    }else{if(rank[x] == rank[y]){rank[x] ++;    }    father[y] = find_set(x);}return ;
}bool cmp(pnode a, pnode b)
{return a.val < b.val;
}int kruskal(int n) //n为边的数量
{int sum = 0;make_set();for(int i = 0; i < n; i ++){   //从权最小的边开始加进图中 if(find_set(edge[i].start) != find_set(edge[i].end)){Union(edge[i].start, edge[i].end);sum += edge[i].val;    }    }return sum;
}int main()
{while(1){scanf("%d", &n);    if(n == 0){break;    }char x, y;int m, weight;int cnt = 0;for(int i = 0; i < n - 1; i ++){cin >> x >> m; //scanf("%c %d", &x, &m);    //printf("%c %d ", x, m);for(int j = 0; j < m; j ++){cin >> y >> weight; //scanf("%c %d", &y, &weight);//printf("%c %d ", y, weight);    edge[cnt].start = x - 'A';edge[cnt].end = y - 'A';edge[cnt].val = weight;cnt ++;}}sort(edge, edge + cnt, cmp); //对边按权从小到大排序 cout << kruskal(cnt) << endl; }
}

最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径，常用的算法有：floyd算法和dijkstra算法。

　　floyd算法是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径 folyd算法的时间复杂度是O(N^3),如果是一个没有边权的图，把相连的两点间的距离设为dist[i][j] = 1，不相连的两点设为无穷大，用 floyd算法可以判断i,j两点是否有路径相连。

void floyd()
{for(int k = 0; k < n; k ++){ //作为循环中间点的k必须放在最外一层循环 for(int i = 0; i < n; i ++){for(int j = 0; j < n; j ++){if(dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]){dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];    //dist[i][j]得出的是i到j的最短路径 }     }    }    }
}

dijkstra算法用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，复杂度O(N^2)。

void dijkstra(int s)   //s是起点
{memset(visit, false, sizeof(visit));
visit[s] = true;for(int i = 0; i < n; i ++){dist[i] = graph[s][i];}int index;for(int i = 1; i < n; i ++){int mincost = INF;for(int j = 0; j < n; j ++){if(!visit[j] && dist[j] < mincost){mincost = dist[j];index = j;    }    }visit[index] = true;for(int j = 0; j < n; j ++){if(!visit[j] && dist[j] > dist[index] + graph[index][j]){dist[j] = dist[index] + graph[index][j];}    }    }
}

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