简单分析算法的时间复杂度

一.什么是算法的时间复杂度

二.如何分析一个算法的时间复杂度

1.有确定次数的算法

2.次数不确定的算法

一.什么是算法的时间复杂度

时间复杂度是一个函数，定性描述一个算法（程序）的运行时间。它可以是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。正常情况下，完成相同的任务的时间复杂度越低，算法越优。

比如求从1到100的和的两种方法的时间复杂度：

int i，sum = 0, n = 100;
for (i = 1; i <=n; i++){sum += i;
}
printf ("%d", sum);

-时间复杂度为O(n)-

int sum = 0, n = 100;
sum = (1 + n) * n/2;
printf ("%d", sum);

-时间复杂度为O(1)-

大O记法：用大写O（）来体现算法时间复杂度的记法叫大O记法。

二.如何分析一个算法的时间复杂度

大O阶推推导法三个步骤：

(1).用常数1取代运行时间中所有加法常数。

(2).在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

(3).如果最高阶项存在且其系数不是1，则去除与这个项相乘的系数。

-得到的结果就是大O阶。(只看文字有些难以理解，可以先看看后面的实例)

针对时间复杂度，我将算法分为有确定次数和次数不确定的算法。

下面从两个方面分析几个实例：（ f(n)表示程序运行的次数）

1.有确定次数的算法

-常数阶-

int sum = 0, n = 100;
sum = (1 + n) * n/2;
printf ("%d", sum);

这个算法的f(n)为3，根据法(1)其时间复杂度为O(1)。

常数项对函数的增长速度影响并不大，所以当 f(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。

-线性阶-

int i;
for (i = 0; i < n; i++){/*时间复杂度为O(1)的程序*/
}

这个算法的f(n)为n，故其时间复杂度为O(n)。

-对数阶-

int count = 1;
while (count < n)
{count = count * 2;/*时间复杂度为O(1)的程序*/
}

由于2^x=n得到x=（log2）n。所以f(n)为(log2)n，其时间复杂度为O(logn)。

-平方阶-

int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{for (j = 0; j < n; j++){/*时间复杂度为O(1)的程序*/    }
}

这是个嵌套循环，可以成将时间复杂度为O(n)的语句执行了n次。故其时间复杂度为（n^2）。

若外循环次数改为m，则时间复杂度变为（m*n）。

int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{for (j = i; j < n; j++) /*此处0换成i*/ {/*时间复杂度为O(1)的程序*/    }
}

而对于这个算法，其f(n)=n+(n-1)+(n-2)...+1=n(n+1)/2=(n^2)/2+n/2。

我们知道高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^2 的增长速度是远超 n的，因为要求的精度不高，所以直接忽略较低项n/2。

又因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以忽略与最高阶相乘的常数1/2。

方法(1)：没有加法常数不予考虑；(2)：只保留最高项，故保留(n^2)/2；(3)：去除项的系数1/2。

故其时间复杂度为O(n^2)。

-再举例,若一个算法的f(n)=(n^3)*3/2+(n^2)*3/2+n+5时,根据推导大O阶法其时间复杂度为O(n^3)。

-其他情况-

int i, j, sum = 0, n = 100;
for (i = 1; i <=n; i++){sum += i;
}
printf ("%d\n", sum);
for (i = 1; i <=n; i++){for(j = 1; j <=n; j++){sum+=i*j;}
}

对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

常见的时间复杂度所耗费的时间从大到小依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

2.次数不确定的算法

最坏情况与平均情况：若要查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，最坏的情况是最后一个，则时间复杂度为O(n)。而平均运行时间为查找n/2次后发现目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。但现实是平均运行时间很难通过分析得到，所以在没有特殊说明的情况下，提到的时间复杂度都指最坏时间复杂度。

-冒泡排序-

int a[n] = {};
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
{for (int j; j < n-i-1; j++){if (a[j] > a[j+1]) swap(a[j],a[j+1]);  /*swap已定义好*/}
}

最坏的情况即待排序列为逆序时，f(n)=1+2+3...+(n-1)=n*(n-1)/2次，故其时间复杂度为O(n^2)。