一题多解 —— 二项式分布的期望和方差的计算

2024-06-04 06:06:38

1. 定义法

E(x)=====∑k=0Nk⋅(Nk)μk(1−μ)N−kN∑k=1N(N−1k−1)μk(1−μ)N−kNμ∑k=1N(N−1k−1)μk−1(1−μ)(N−1)−(k−1)Nμ(μ+(1−μ))N−1Nμ

\begin{split} \mathbb E(x)=&\sum_{k=0}^Nk\cdot \binom{N}{k}\mu^k(1-\mu)^{N-k}\\ =&N\sum_{k=1}^N\binom{N-1}{k-1}\mu^k(1-\mu)^{N-k}\\ =&N\mu\sum_{k=1}^N\binom{N-1}{k-1}\mu^{k-1}(1-\mu)^{(N-1)-(k-1)}\\ =&N\mu\left(\mu+(1-\mu)\right)^{N-1}\\ =&N\mu \end{split}

2. 指示器变量（Indicator variable）

定义随机变量 xi∼b(1,μ)x_i\sim b(1, \mu)，xi,i=1,2,…,Nx_i, i=1,2,\ldots,N 彼此独立同分布，由相互独立的随机变量，以相互独立的随机变量 x,zx, z 为例，证明见随机变量统计独立性的相关证明：

E[x+z]=E[x]+E[z]var[x+z]=var[x]+var[z]

\begin{split} &\mathbb E[x+z]=\mathbb E[x]+\mathbb E[z]\\ &\text{var}[x+z]=\text{var}[x]+\text{var}[z] \end{split}

则多项式随机变量 mm，其实等价于：

m=x1+x2+…+xN

m=x_1+x_2+\ldots+x_N

因此由：

E[m]=NE[xi]=Nμvar[m]=Nvar[xi]=Nμ(1−μ)

\begin{split} &\mathbb E[m]=N\mathbb E[x_i]=N\mu\\ &\text{var}[m]=N\text{var}[x_i]=N\mu(1-\mu) \end{split}

references

Expectation of Binomial Distribution

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