概率论与数理统计：六大基本分布及其期望和方差

绪论：

概率论中有六大常用的基本分布，大致可分成两类：离散型（0-1分布、二项分布、泊松分布），连续型（均匀分布、指数分布、正态分布）。

补充：

在进入正文之前先讲一下期望和均值的一些区别：

期望和均值都具有平均的概念，但期望是指的随机变量总体的平均值，而均值则是指的从总体中抽样的样本的平均值，即前者是理想的均值，而后者则是实际观测出来的数据的均值。例如：对于一个六面的骰子，其期望E = （1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.5。然后掷5次骰子，每次掷的点数分别为 1,3,5,5,1，则平均值为（1+3+5+5+1）/ 5 = 3。可以发现两者并不相等。

方差（variance）：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差度量了随机变量与期望（也可说均值）之间的偏离程度。标准差为方差的开根号。

协方差（Covariance）：用于衡量两个变量之间的误差，而方差是协方差的特殊情况，即当两个变量相同的情况。其公式如下：，表示含义为：E（∑（“X与其均值之差” * “Y与其均值之差” ））

当协方差为正时：表示两变量正相关（即同时变大变下）。

当协方差为负时：表示两变量负相关（即你变大，我变小，反之亦然）。

当协方差为0时：两变量相互独立。

相关系数：其公式如下，表示的含义为用X和Y的协方差除以X和Y的标准差。所以相关系数也可以看成协方差，一种剔除两个变量量纲影响，标准化后的特殊协方差。

正文：

1、0-1分布

已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中 0 < p < 1，则成X服从参数为p的0-1分布。

其中期望为E（X） = p 方差D（X） = p（1-p）；

2、二项分布

n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。

其中期望E（X） = np 方差D（X） = np（1-p）；

3、泊松分布

表示单位时间内某稀有事件发生k次的概率，其公式为

其中方差和期望均为，详细了解请☞戳

4、均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布

其中期望E（X） = （a+b）/ 2 ，方差D（X） = （b-a）^2 / 12。

5、指数分布

6、正态分布

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补充：

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