（转）各种排列组合的数的公式和推导

原贴地址：https://blog.csdn.net/qq_36808030/article/details/75045129?utm_source=blogxgwz0

一、排列(在乎顺序)

全排列：P(n,n)=n!

n个人都排队。第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!

部分排列：P(n,m)=n!/(n-m)!

n个人，选m个出来排队，第一个位置可以选n个，…，最后一个可以选n-m+1个，以此类推得：P(n,m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!。

二、组合(不在乎顺序)

n个人，选m个人出来。

因为不在乎顺序，所以按排列算的话，每个组合被选到之后还要排列，是被算了m!遍的。即C(n,m)*m!=P(n,m)

故而得：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)

有两条性质：

1、C(n,m)=C(n,n-m)。就是说从n个里面选m个跟从n个里面选n-m个出来不选它是一样的。

2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。递推式..

从n个里面选m个出来的方案=从n-1个里面选m个的方案(即不选第n个) + 从n-1个里面选m-1个的方案(即选第n个)

三、圆排列

圆排：Q(n,n)=（n-1)!

n个人坐成一圈有多少种坐法。

想想坐成一圈后，分别以每个位置为头断开，可以排成一个序列，就是将n个人全排列中的一种。这样可以得到n个序列，但是在圆排中是视为同一种坐法的。所以：Q(n,n)*n=P(n,n)，即Q(n,n)=P(n,n)/n=n!/n=(n-1)!

部分圆排：Q(n,m)=P(n,m)/m=n!/(m*(n-m)!)

推导类似

四、重复排列(有限个)：n!/(a1!*a2!*…*ak!)

k种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2,...ak,设n=a1+a2+…+ak，求这n个球的全排列数。

把每种球重复的除掉就好了。假如第一种球有a1个，那么看成都是不一样的话就有a1!种排列方法，然而它们都是一样的，就是说重复了a1!次。其它的一样，所以重复排列的公式就是n!/(a1!*a2!*…*ak!)

五、重复组合(无限个)：C(n+k-1,k)

n种不一样的球，每种球的个数是无限的，从中选k个出来的方案数。

看了几种证法，写两种吧。

证明1：这个是比较常见的。。然而我不是特别懂为什么可以。。

给这n个球编号为1~n，选出来k个。

设为1≤a1≤a2≤a3≤...≤ak≤n，因为是组合，排下序也没什么关系。

可能重复，所以有等号。但是普通的组合是没有等号的，所以要把等号想办法去掉。

于是设bi=ai+i-1。[为什么可以加，这样还表示编号吗?

这样就保证了{b}都是不一样的。

故得1<b1<b2<...<bk<n+k-1

即相当于从n+k-1个球中选k个出来，为C(n+k-1,k).

证明2：转化为隔板法啊很机智！看这个看懂了！

选出来了k个球，我们就设本来就有n+k个，而这n+k个球只有n种不同的种类，就=把这n+k个球分进不同的n个盒子里，但保证每个盒子不为空=把n+k个数分成不为空的n块=在n+k-1个间隔中放n-1个隔板(来分)。即C(n+k-1,n-1)=C(n+k-1,k)，（根据性质1。

六、不相邻组合：C(n-k+1,k)

1~n这n个自然数中选k个，这k个数中任何两个数不相邻数的组合有多少种。

好像可以跟上面证明1的证法一样来证，但是我并不会= =。

所以下面的证明是来自hyc大学霸的：

一开始先假设选出来的k个数没有取到1和n，那么就相当于把n-k个数分成了k+1份（因为要求要不相邻~）。但是我们是可以选1和n的，所以给两边各补上一位(随便补啦，按顺序的话就是0跟n+1咯)，这样选出来的k个数都在1~n中，就相当于把n-k+2个数分成了k+1份。即在(n-k+2)-1个间隔中放k个隔板！就是C(n-k+1,k)。

七、错排(错位排列)：dn=(n-1)*(dn-1 + dn-2)，n≥3

↑是个递推式。我只会递推式，，好像也只有递推式。。

（同时也有，dn=n*dn-1 + (-1)^n。没深入探讨和背过这个orz

问题相当于，有n个人编号为1~n，住在1~n号房间，要求每个人的编号与其房间号不同，问有多少种排列方法。

于是这个怎么推导的呢？先写成：dn=(n-1)*dn-1 + (n-1)*dn-2。

假如说一开始第i个人住在第i号房间。

①令n-1个人错排后，第n个人与其中的一个i互换房间，即n住在i错排后住的房间，i去住第n号房间。满足要求啊。因为n可以和n-1个人换房间，所以有(n-1)*dn-1种方法。

②n选择跟一个人换房间，即n住第i号房，i住第n号房，让剩下的n-2个人自己去搞一次错排。同样的，n可以有n-1种选择，这就有(n-1)*dn-2种方法。跟上一种方式是不一样的哦！

故递推关系就是dn=(n-1)*(dn-1 + dn-2)

错位排列数列为 0，1，2，9，44，265，……

八、stirling数(斯特林数)

第一类stirling数：S(n,m)=S(n-1,m-1)+(n-1)*S(n-1,m).

n个不同元素构成m个圆排列

①n-1个元素构成了m-1个圆排，第n个单独成一个圆排：S(n-1,m-1)。

②n-1个元素构成m个圆排，将第n个元素插在任一个元素的左边：(n-1)*S(n-1,m)。

故递推关系就是S(n,m)=S(n-1,m-1)+(n-1)*S(n-1,m)。

第二类stirling数：S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m).

n个不同元素构成m个非空的(无差别)集合

①n-1个元素构成了m-1个集合，第n个单独成一个集合：S(n-1,m-1)。

②n-1个元素构成m个集合，第n个放进任一个集合里：m*S(n-1,m)。

故递推关系就是S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m)。

有些性质啊S(n,0)、S(n,1)、S(n,n)等等为一些常数的，可以自己想到的！

九、Catalan数(卡特兰数)

通项式：Hn=C(2n,n)/(n+1)=(2n)!/( (n+1)!*n!)

组合公式：Hn=C(2n,n)-C(2n,n-1)

递归公式：

这个有很多人写我就不详细写啦~

有很多很有用的应用！而那些应用为什么可以用卡特兰数来解跟这些↑式子有很大联系。

放些感觉比较全&有点证明/推导的链接(可能他们也是转的orz)：

http://www.360doc.com/content/14/1001/00/9482_413586206.shtml

http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858

http://blog.csdn.net/lidiyang1993/article/details/45191221

（转）各种排列组合的数的公式和推导相关推荐

c语言中组合函数,排列组合c怎么算公式是什么
排列有两种定义,但计算方法只有一种,凡是符合这两种定义的都用这种方法计算.定义的前提条件是m≦n,m与n均为自然数.下面介绍排列组合c的计算方法及公式,供参考. 排列组合中A和C怎么算排列A(n,m ...
各种排列组合奇怪的数的公式和推导
转师姐的一.排列(在乎顺序) 全排列:P(n,n)=n! n个人都排队.第一个位置可以选n个,第二位置可以选n-1个,以此类推得: P(n,n)=n*(n-1)*-*3*2*1= n! 部分排列:P ...
排列组合十一个性质公式及证明，错排数公式及证明
文章目录排列数组合数求组合数常用公式定义式递推式杨辉三角组合数常用性质及证明性质一性质二性质三性质四(二项式定理) 性质五性质六性质七性质八性质九性质十性质十一错排 ...
排列组合基本原理及公式
1.加法原理与乘法原理加法原理:完成一件事情,需要划分几个类别,各类别中的方法可以独立完成这件事情.当这种分类没有重复.没有遗漏时,完成这件事情的方法总数等于每一类方法数之和. [示例]从A地到B地 ...
Batch Normalization 反向传播（backpropagation ）公式的推导
What does the gradient flowing through batch normalization looks like ? 反向传播梯度下降权值参数更新公式的推导全依赖于复合函数求 ...
【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列某些元素重复度小于排列数 )
文章目录一.多重集二.多重集全排列三.多重集全排列示例三.多重集非全排列 1 所有元素重复度大于排列数 ( ni≥rn_i \geq rni≥r ) 四.多重集非全排列 2 某些元素重复度小 ...
排列组合思维导图_排列组合——排列数专题
在上篇关于排列组合主要考点的介绍中,正男老师提到:排列组合考点通常可以拆分为排列数考点和组合数考点.排列数考点相关试题可以细分为2类,分别为:穷举问题和限制条件问题.本期正男老师就从近六年内的5道涉及 ...
[指数型生成函数专练]chocolate，红色病毒问题，排列组合，字串数
文章目录 T1:chocolate 题目题解 code T2:"红色病毒"问题题目题解 code T3:排列组合题目题解 code T4:字串数题解 code T1:c ...
几个重要的排列组合定理公式
1.排列的几个定理公式 <1>.排列,一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(Arrangement).特别地,当m ...

（转）各种排列组合的数的公式和推导

（转）各种排列组合的数的公式和推导相关推荐

最新文章

热门文章