文章目录

排列数
组合数
求组合数常用公式
- 定义式
- 递推式
- 杨辉三角
组合数常用性质及证明
- 性质一
- 性质二
- 性质三
- 性质四(二项式定理)
- 性质五
- 性质六
- 性质七
- 性质八
- 性质九
- 性质十
- 性质十一
错排数

排列数

从nnn个物品中不放回地依次选mmm个物品，考虑顺序，有多少种方案，记作AnmA_n^mAnm
Anm=n!(n−m)!A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}Anm=(n−m)!n!

组合数

从nnn个物品中不放回地依次选mmm个物品，不考虑顺序，有多少种方案，记作CnmC_n^mCnm
Cnm=n!m!∗(n−m)!C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}Cnm=m!∗(n−m)!n!

求组合数常用公式

定义式

Cnm=n!m!∗(n−m)!C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}Cnm=m!∗(n−m)!n!
当n,mn,mn,m很大时，预处理阶乘和逆元，预处理O(n)O(n)O(n)，求组合数O(1)O(1)O(1)

递推式

Cnm=n!m!∗(n−m)!=n!(m−1)!∗(n−m+1)!∗n−m+1m=Cnm−1∗n−m+1mC_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}=\frac{n!}{(m-1)!*(n-m+1)!}*\frac{n-m+1}{m}=C_n^{m-1}*\frac{n-m+1}{m}Cnm=m!∗(n−m)!n!=(m−1)!∗(n−m+1)!n!∗mn−m+1=Cnm−1∗mn−m+1

杨辉三角

Cnm=n!m!∗(n−m)!=(n−1)!∗(n−m+m)m!∗(n−m)!C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}=\frac{(n-1)!*(n-m+m)}{m!*(n-m)!}Cnm=m!∗(n−m)!n!=m!∗(n−m)!(n−1)!∗(n−m+m)
=(n−1)!∗(n−m)m!∗(n−m)!+(n−1)!∗mm!∗(n−m)!=\frac{(n-1)!*(n-m)}{m!*(n-m)!}+\frac{(n-1)!*m}{m!*(n-m)!}=m!∗(n−m)!(n−1)!∗(n−m)+m!∗(n−m)!(n−1)!∗m
=(n−1)!m!∗(n−m−1)!+(n−1)!(m−1)!∗(n−m)!=\frac{(n-1)!}{m!*(n-m-1)!}+\frac{(n-1)!}{(m-1)!*(n-m)!}=m!∗(n−m−1)!(n−1)!+(m−1)!∗(n−m)!(n−1)!
=Cn−1m+Cn−1m−1=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}=Cn−1m+Cn−1m−1
当模数不是质数的时候，预处理O(n2)O(n^2)O(n2)，求组合数O(1)O(1)O(1)

组合数常用性质及证明

性质一

Cnm=Cnn−mC_n^m=C_n^{n-m}Cnm=Cnn−m

证明：
法一：利用组合数意义理解
在nnn个当中选mmm个，相当于在nnn个当中不选n−mn-mn−m个
法二：公式表示
Cnm=n!m!∗(n−m)!C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!}Cnm=m!∗(n−m)!n!
Cnn−m=n!(n−m)!∗(n−(n−m))!=n!m!∗(n−m)!C_n^{n-m}=\frac{n!}{(n-m)!*(n-(n-m))!}=\frac{n!}{m!*(n-m)!}Cnn−m=(n−m)!∗(n−(n−m))!n!=m!∗(n−m)!n!

性质二

Cn+m+1m=∑i=0mCn+iiC_{n+m+1}^m=\sum_{i=0}^mC_{n+i}^iCn+m+1m=i=0∑mCn+ii

证明：
利用画图以及杨辉三角得证

性质三

Cnm∗Cmr=Cnr∗Cn−rm−rC_n^m*C_m^r=C_n^r*C_{n-r}^{m-r}Cnm∗Cmr=Cnr∗Cn−rm−r

证明：
法一：利用组合数意义理解
在nnn个当中选mmm个，再在选出的mmm个当中选rrr个
相当于在nnn个当中选rrr个，再在剩下的n−rn-rn−r个中选还需要的m−rm-rm−r

法二：公式推导
Cnm∗Cmr=n!m!∗(n−m)!∗m!r!∗(m−r)!=n!∗m!m!∗r!∗(n−m)!∗(m−r)!C_n^m*C_m^r=\frac{n!}{m!*(n-m)!}*\frac{m!}{r!*(m-r)!}=\frac{n!*m!}{m!*r!*(n-m)!*(m-r)!}Cnm∗Cmr=m!∗(n−m)!n!∗r!∗(m−r)!m!=m!∗r!∗(n−m)!∗(m−r)!n!∗m!=n!r!∗(n−m)!∗(m−r)!=n!∗(n−r)!r!∗(n−m)!∗(m−r)!∗(n−r)!=\frac{n!}{r!*(n-m)!*(m-r)!}=\frac{n!*(n-r)!}{r!*(n-m)!*(m-r)!*(n-r)!}=r!∗(n−m)!∗(m−r)!n!=r!∗(n−m)!∗(m−r)!∗(n−r)!n!∗(n−r)!=n!r!∗(n−r)!∗(n−r)!(m−r!)∗(n−m)!{(n−r)−(m−r)=n−m}=\frac{n!}{r!*(n-r)!}*\frac{(n-r)!}{(m-r!)*(n-m)!}\ \ \ \ \ \{(n-r)-(m-r)=n-m\}=r!∗(n−r)!n!∗(m−r!)∗(n−m)!(n−r)! {(n−r)−(m−r)=n−m}=Cnr∗Cn−rm−r=C_n^r*C_{n-r}^{m-r}=Cnr∗Cn−rm−r

性质四(二项式定理)

∑i=0n{Cni∗xi}=(1+x)n\sum_{i=0}^n\{C_n^i*x^i\}=(1+x)^ni=0∑n{Cni∗xi}=(1+x)n
∑i=0nCni=2n(x=1)\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n\ \ \ (x=1)i=0∑nCni=2n (x=1)

证明：
组合数意义理解

(1+x)n=(1+x)∗(1+x)∗...∗(1+x)(1+x)^n=(1+x)*(1+x)*...*(1+x)(1+x)n=(1+x)∗(1+x)∗...∗(1+x)，nnn个(1+x)(1+x)(1+x)相乘
(1+x)(1+x)(1+x)在乘法中的贡献相当于要么选111，要么选xxx
有iii个(1+x)(1+x)(1+x)中选xxx，产生的贡献就是xix^ixi，剩下的n−in-in−i个(1+x)(1+x)(1+x)，产生的贡献是111
在nnn个中任意选iii个，相当于CniC_n^iCni

性质五

∑i=0n{(−1)i∗Cni}=0\sum_{i=0}^n\{(-1)^i*C_n^i\}=0i=0∑n{(−1)i∗Cni}=0

证明：
①：若nnn为奇数
则∑i=0n\sum_{i=0}^n∑i=0n共有n+1n+1n+1项（偶数项），而(−1)i∗Cni=(−1)i∗Cnn−i(-1)^i*C_n^i=(-1)^i*C_n^{n-i}(−1)i∗Cni=(−1)i∗Cnn−i
因为nnn为奇数，所以当iii为奇数时，n−in-in−i为偶数，当iii为偶数时，n−in-in−i为奇数
所以i,n−ii,n-ii,n−i奇偶性不同，那么(−1)i+(−1)n−1(-1)^i+(-1)^{n-1}(−1)i+(−1)n−1相当于(−1)奇数次方+(−1)偶数次方=0(-1)^{奇数次方}+(-1)^{偶数次方}=0(−1)奇数次方+(−1)偶数次方=0
(−1)i∗Cni+(−1)n−i∗Cnn−i=0(-1)^i*C_n^i+(-1)^{n-i}*C_n^{n-i}=0(−1)i∗Cni+(−1)n−i∗Cnn−i=0
偶数项刚好每一对可以相互抵消，所以性质显然成立

②：若nnn为偶数
(−1)0=(−1)n=1(-1)^0=(-1)^n=1(−1)0=(−1)n=1，先把i=0,i=ni=0,i=ni=0,i=n的情况拆出来，用杨辉三角展开中间项
∑i=0n{(−1)i∗Cni}=Cn0+Cnn+∑i=1n−1{(−1)i∗(Cn−1i+Cn−1i−1)}\sum_{i=0}^n\{(-1)^i*C_n^i\}=C_n^0+C_n^n+\sum_{i=1}^{n-1}\{(-1)^i*(C_{n-1}^i+C_{n-1}^{i-1})\}i=0∑n{(−1)i∗Cni}=Cn0+Cnn+i=1∑n−1{(−1)i∗(Cn−1i+Cn−1i−1)}
Cn0+Cnn+∑i=0n−2{(−1)i+1∗Cn−1i}+∑i=1n−1{(−1)i∗Cn−1i}C_n^0+C_n^n+\sum_{i=0}^{n-2}\{(-1)^{i+1}*C_{n-1}^i\}+\sum_{i=1}^{n-1}\{(-1)^i*C_{n-1}^i\}Cn0+Cnn+i=0∑n−2{(−1)i+1∗Cn−1i}+i=1∑n−1{(−1)i∗Cn−1i}
把前一个求和加上(−1)n∗Cn−1n−1(-1)^n*C_{n-1}^{n-1}(−1)n∗Cn−1n−1一项，后一个求和加上(−1)0∗Cn−10(-1)^0*C_{n-1}^0(−1)0∗Cn−10

Cn0+Cnn+∑i=0n−1{(−1)i∗Cn−1i}−Cn−1n−1+∑i=1n−1{(−1)i∗Cn−1i}−Cn−10C_n^0+C_n^n+\sum_{i=0}^{n-1}\{(-1)^i*C_{n-1}^i\}-C_{n-1}^{n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}\{(-1)^i*C_{n-1}^i\}-C_{n-1}^0Cn0+Cnn+i=0∑n−1{(−1)i∗Cn−1i}−Cn−1n−1+i=1∑n−1{(−1)i∗Cn−1i}−Cn−10
注意n−1n-1n−1为奇数，奇数情况已经证明了，故这两个公式直接等于000，删掉，原式转化为
Cn0+Cnn−Cn−10−Cn−1n−1=0C_n^0+C_n^n-C_{n-1}^0-C_{n-1}^{n-1}=0Cn0+Cnn−Cn−10−Cn−1n−1=0

性质六

Cn0+Cn2+...=Cn1+Cn3+...=2n−1C_n^0+C_n^2+...=C_n^1+C_n^3+...=2^{n-1}Cn0+Cn2+...=Cn1+Cn3+...=2n−1

证明：
用杨辉三角公式暴力展开寻找规律
①假设nnn为奇数
Cn0+Cn2+...+Cnn−1=Cn−10+Cn−11+Cn−12+Cn−13+Cn−14+...+Cn−1n−2+Cn−1n−1C_n^0+C_n^2+...+C_n^{n-1}=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+C_{n-1}^4+...+C_{n-1}^{n-2}+C_{n-1}^{n-1}Cn0+Cn2+...+Cnn−1=Cn−10+Cn−11+Cn−12+Cn−13+Cn−14+...+Cn−1n−2+Cn−1n−1
Cn1+Cn3+...+Cnn=Cn−10+Cn−11+Cn−12+Cn−13+...+Cn−1n−1+Cn−1nC_n^1+C_n^3+...+C_n^n=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+...+C_{n-1}^{n-1}+C_{n-1}^nCn1+Cn3+...+Cnn=Cn−10+Cn−11+Cn−12+Cn−13+...+Cn−1n−1+Cn−1n
发现每一项都是相等的，第二个式子多出来的Cn−1n=0C_{n-1}^n=0Cn−1n=0，所以相等得证
又根据性质四∑i=0nCni=2n\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n∑i=0nCni=2n，前两个式子相加刚好等于∑i=0nCni\sum_{i=0}^nC_n^i∑i=0nCni，又相等，/2/2/2即为2n−12^{n-1}2n−1

②假设nnn为偶数
Cn0+Cn2+...+Cnn=Cn−10+Cn−11+Cn−12+Cn−13+Cn−14+...+Cn−1n−1+Cn−1nC_n^0+C_n^2+...+C_n^n=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+C_{n-1}^4+...+C_{n-1}^{n-1}+C_{n-1}^{n}Cn0+Cn2+...+Cnn=Cn−10+Cn−11+Cn−12+Cn−13+Cn−14+...+Cn−1n−1+Cn−1n
Cn1+Cn3+...+Cnn−1=Cn−10+Cn−11+Cn−12+Cn−13+...+Cn−1n−2+Cn−1n−1C_n^1+C_n^3+...+C_n^{n-1}=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+C_{n-1}^3+...+C_{n-1}^{n-2}+C_{n-1}^{n-1}Cn1+Cn3+...+Cnn−1=Cn−10+Cn−11+Cn−12+Cn−13+...+Cn−1n−2+Cn−1n−1
仍然两两对应相等，第一个式子多出来的Cn−1n=0C_{n-1}^n=0Cn−1n=0，后面的方法与奇数情况一样，不赘述

性质七

Cn+mr=∑i=0min(n,m,r){Cni∗Cmr−i}C_{n+m}^r=\sum_{i=0}^{min(n,m,r)}\{C_n^i*C_m^{r-i}\}Cn+mr=i=0∑min(n,m,r){Cni∗Cmr−i}
Cn+mn=Cn+mm=∑i=0min(n,m){Cni∗Cmi},(r=n∣∣r=m)C_{n+m}^n=C_{n+m}^m=\sum_{i=0}^{min(n,m)}\{C_n^i*C_m^i\},(r=n||r=m)Cn+mn=Cn+mm=i=0∑min(n,m){Cni∗Cmi},(r=n∣∣r=m)

证明：
用组合数意义理解
把n+mn+mn+m个分成nnn个一组，mmm个一组，总共选rrr个，相当于nnn个中选iii个，mmm个中选r−ir-ir−i个

性质八

m∗Cnm=n∗Cn−1m−1m*C_n^m=n*C_{n-1}^{m-1}m∗Cnm=n∗Cn−1m−1

证明：
m∗Cnm=m∗n!m!∗(n−m)!=n∗(n−1)!(m−1)!∗(n−m)=n∗Cn−1m−1m*C_n^m=m*\frac{n!}{m!*(n-m)!}=n*\frac{(n-1)!}{(m-1)!*(n-m)}=n*C_{n-1}^{m-1}m∗Cnm=m∗m!∗(n−m)!n!=n∗(m−1)!∗(n−m)(n−1)!=n∗Cn−1m−1

性质九

∑i=0n{Cni∗i}=n∗2n−1\sum_{i=0}^n\{C_n^i*i\}=n*2^{n-1}i=0∑n{Cni∗i}=n∗2n−1

证明：
∑i=0n{Cni∗i}=∑i=1n{n!i!∗(n−i)!∗i}=∑i=1nn!(i−1)!∗(n−i)!\sum_{i=0}^n\{C_n^i*i\}=\sum_{i=1}^n\{\frac{n!}{i!*(n-i)!}*i\}=\sum_{i=1}^n\frac{n!}{(i-1)!*(n-i)!}i=0∑n{Cni∗i}=i=1∑n{i!∗(n−i)!n!∗i}=i=1∑n(i−1)!∗(n−i)!n!=∑i=1n{n∗(n−1)!(i−1)!∗(n−i)!}=n∗∑i=1nCn−1i−1=n∗∑i=0n−1Cn−1i=n∗2n−1=\sum_{i=1}^n\{n*\frac{(n-1)!}{(i-1)!*(n-i)!}\}=n*\sum_{i=1}^nC_{n-1}^{i-1}=n*\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i=n*2^{n-1}=i=1∑n{n∗(i−1)!∗(n−i)!(n−1)!}=n∗i=1∑nCn−1i−1=n∗i=0∑n−1Cn−1i=n∗2n−1

由性质四可知，∑i=0nCni=2n,∑i=0n−1Cn−1i=2n−1\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n,\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i=2^{n-1}∑i=0nCni=2n,∑i=0n−1Cn−1i=2n−1

性质十

∑i=0n{Cni∗i2}=n∗(n+1)∗2n−2\sum_{i=0}^n\{C_n^i*i^2\}=n*(n+1)*2^{n-2}i=0∑n{Cni∗i2}=n∗(n+1)∗2n−2

证明：
利用性质九
∑i=0n{Cni∗i2}=∑i=0n{n!i!∗(n−i)!∗i∗(i−1+1)}\sum_{i=0}^n\{C_n^i*i^2\}=\sum_{i=0}^n\{\frac{n!}{i!*(n-i)!}*i*(i-1+1)\}i=0∑n{Cni∗i2}=i=0∑n{i!∗(n−i)!n!∗i∗(i−1+1)}=∑i=0n{n!i!∗(n−i)!∗i+n!i!∗(n−i)!∗i∗(i−1)}=\sum_{i=0}^n\{\frac{n!}{i!*(n-i)!}*i+\frac{n!}{i!*(n-i)!}*i*(i-1)\}=i=0∑n{i!∗(n−i)!n!∗i+i!∗(n−i)!n!∗i∗(i−1)}=∑i=0n{Cni∗i}+∑i=1n{n!(i−1)!∗(n−i)!∗(i−1)}=\sum_{i=0}^n\{C_n^i*i\}+\sum_{i=1}^n\{\frac{n!}{(i-1)!*(n-i)!}*(i-1)\}=i=0∑n{Cni∗i}+i=1∑n{(i−1)!∗(n−i)!n!∗(i−1)}=n∗2n−1+n∗∑i=1n{(n−1)!(i−1)!∗(n−i)!∗(i−1)}=n*2^{n-1}+n*\sum_{i=1}^n\{\frac{(n-1)!}{(i-1)!*(n-i)!}*(i-1)\}=n∗2n−1+n∗i=1∑n{(i−1)!∗(n−i)!(n−1)!∗(i−1)}=n∗2n−1+n∗∑i=1n{Cn−1i−1∗(i−1)}=n∗2n−1+n∗∑i=0n−1{Cn−1i∗i}=n*2^{n-1}+n*\sum_{i=1}^n\{C_{n-1}^{i-1}*(i-1)\}=n*2^{n-1}+n*\sum_{i=0}^{n-1}\{C_{n-1}^i*i\}=n∗2n−1+n∗i=1∑n{Cn−1i−1∗(i−1)}=n∗2n−1+n∗i=0∑n−1{Cn−1i∗i}=n∗2n−1+n∗(n−1)∗2n−2=(n∗2+n∗(n−1))∗2n−2=n∗(n+1)∗2n−2=n*2^{n-1}+n*(n-1)*2^{n-2}=(n*2+n*(n-1))*2^{n-2}=n*(n+1)*2^{n-2}=n∗2n−1+n∗(n−1)∗2n−2=(n∗2+n∗(n−1))∗2n−2=n∗(n+1)∗2n−2

性质十一

∑i=0n{(Cni)2}=C2∗nn\sum_{i=0}^n\{(C_n^i)^2\}=C_{2*n}^ni=0∑n{(Cni)2}=C2∗nn

证明：
根据性质七易证

∑i=0n{(Cni)2}=∑i=0n{Cni∗Cnn−i}=Cn+nn=C2∗nn\sum_{i=0}^n\{(C_n^i)^2\}=\sum_{i=0}^n\{C_n^i*C_n^{n-i}\}=C_{n+n}^n=C_{2*n}^ni=0∑n{(Cni)2}=i=0∑n{Cni∗Cnn−i}=Cn+nn=C2∗nn

错排数

把nnn个分别写有1−n1-n1−n的球放进nnn个固定的分别写有1−n1-n1−n的盒子里，每个盒子里正好有一个球且盒子上的数字与盒中球的数字都不相同的方案数，记作D(n)D(n)D(n)

递推式：

D(n)=(n−1)∗(D(n−1)+D(n−2))D(1)=0,D(2)=1D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))\ \ \ \ \ D(1)=0,D(2)=1D(n)=(n−1)∗(D(n−1)+D(n−2)) D(1)=0,D(2)=1

证明：
第一个盒子有n−1n-1n−1种球可以放（除了一号球），假设第一个盒子放的iii号球，则有两种情况
①恰好第iii个盒子放的球就是一号球，则剩下的n−2n-2n−2个球继续错排，方案数为D(n−2)D(n-2)D(n−2)
②第iii个盒子放的不是一号球，此时形成了一条新的限制：一号球不能放进iii号盒
除去第一个盒子和iii号球的剩下n−1n-1n−1个球和n−1n-1n−1个盒子，继续错排的方案数为D(n−1)D(n-1)D(n−1)

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